Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面積為25，點(diǎn)D為AB邊上的任意一點(diǎn)（D不與A、B重合），過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．設(shè)DE=x，以DE為折線將△ADE翻折（使△ADE落在四邊形DBCE所在的平面內(nèi)），所得的△A'DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y．
（1）用x表示△ADE的面積；
（2）求出0＜x≤5時y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求出5＜x＜10時y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當(dāng)x取何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由于DE∥BC，可得出三角形ADE和ABC相似，那么可根據(jù)面積比等于相似比的平方用三角形ABC的面積表示出三角形ADE的面積．
（2）由于DE在三角形ABC的中位線上方時，重合部分的面積就是三角形ADE的面積，而DE在三角形ABC中位線下方時，重合部分就變成了梯形，因此要先看0＜x≤5時，DE的位置，根據(jù)BC的長可得出三角形的中位線是5，因此自變量這個范圍的取值說明了A′的落點(diǎn)應(yīng)該在三角形ABC之內(nèi)，因此y就是（1）中求出的三角形ADE的面積．
（3）根據(jù)（2）可知5＜x＜10時，A′的落點(diǎn)在三角形ABC外面，可連接AA₁，交DE于H，交BC于F，那么AH就是三角形ADE的高，A′F就是三角形A′DE的高，A′F就是三角形A′MN的高，那么可先求出三角形A′MN的面積，然后用三角形ADE的面積減去三角形A′MN的面積就可得出重合部分的面積．求三角形A′MN的面積時，可參照（1）的方法進(jìn)行求解．
（4）根據(jù)（2）（3）兩個不同自變量取值范圍的函數(shù)關(guān)系式，分別得出各自的函數(shù)最大值以及對應(yīng)的自變量的值，然后找出最大的y的值即可．

解答：解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=(

DE

BC

)2，
即S_△ADE=

1

4

x²；

（2）∵BC=10，
∴BC邊所對的三角形的中位線長為5，
∴當(dāng)0＜x≤5時，y=S_△ADE=

1

4

x²；

（3）5＜x＜10時，點(diǎn)A′落在三角形的外部，其重疊部分為梯形，
∵S_△A′DE=S_△ADE=

1

4

x²，
∴DE邊上的高AH=A'H=

1

2

x，
由已知求得AF=5，
∴A′F=AA′-AF=x-5，
由△A′MN∽△A′DE知

SA′MN

SA′DE

=（

A′F

A′H

）²，S_△A′MN=（x-5）²．
∴y=

1

4

x²-（x-5）²=-

3

4

x²+10x-25．

（4）在函數(shù)y=

1

4

x²中，
∵0＜x≤5，
∴當(dāng)x=5時y最大為：

25

4

，
在函數(shù)y=-

3

4

x²+10x-25中，
當(dāng)x=-

b

2a

=

20

3

時y最大為：

25

3

，
∵

25

4

＜

25

3

，
∴當(dāng)x=

20

3

時，y最大為：

25

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)．本題中根據(jù)相似比求面積是解題的基本思路．