Question

如圖，?ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE=

1

2

CD．
（1）求證：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）要證△ABF∽△CEB，需找出兩組對應(yīng)角相等；已知了平行四邊形的對角相等，再利用AB∥CD，可得一對內(nèi)錯角相等，則可證．
（2）由于△DEF∽△EBC，可根據(jù)兩三角形的相似比，求出△EBC的面積，也就求出了四邊形BCDF的面積．同理可根據(jù)△DEF∽△AFB，求出△AFB的面積．由此可求出?ABCD的面積．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴∠A=∠C，AB∥CD
∴∠ABF=∠CEB
∴△ABF∽△CEB

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD∥BC，AB平行且等于CD
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF
∵DE=

1

2

CD
∴

S△DEF

S△CEB

=(

DE

EC

)2=

1

9

，

S△DEF

S△ABF

=(

DE

AB

)2=

1

4

∵S_△DEF=2
S_△CEB=18，S_△ABF=8，
∴S_{四邊形BCDF}=S_△BCE-S_△DEF=16
∴S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形BCDF}+S_△ABF=16+8=24．

點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．