Question

13．如圖，A（0，4）是直角坐標(biāo)系y軸上一點(diǎn)，動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB．設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動時間為t秒．
（1）若AB∥x軸，求t的值；
（2）當(dāng)t=3時，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)M，使得以M、P、B為頂點(diǎn)的三角形和△ABP全等，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A'，連接A'B，
在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，∠OA'B的度數(shù)是否會發(fā)生變化，
若不變，請求出∠OA'B的度數(shù)，若改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB∥x軸，可找出四邊形ABCO為長方形，再根據(jù)△APB為等腰三角形可得知∠OAP=45°，從而得出△AOP為等腰直角三角形，由此得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論，注意分類討論；
（3）由等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖1所示．
∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，
∴四邊形ABCO為長方形，
∴AO=BC=4．
∵△APB為等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，
∴△AOP為等腰直角三角形，
∴OA=OP=4．
t=4÷1=4（秒），
故t的值為4．
（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，7）或（6，-4）或（10，-1）或（0，4）；
（3）∠OA'B=45°，不發(fā)生變化；理由如下：
∵△APB為等腰直角三角形，
∴∠APO+∠BPC=180°-90°=90°．
又∵∠PAO+∠APO=90°，
∴∠PAO=∠BPC．
在△PAO和△BPC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PAO=∠BPC}&{\;}\\{∠AOP=∠PCB=90°}&{\;}\\{AP=BP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PAO≌△BPC（AAS），
∴AO=PC，BC=PO．
∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)P（t，0）
∴PC=AO=4，BC=PO=t，CO=PC+PO=4+t
∴點(diǎn)B（4+t，t）；
∴點(diǎn)B在直線y=x-4上
又∵點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A'（0，-4）也在直線y=x-4上，
∴∠OA'B=45°．

點(diǎn)評 本題考查了長方形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．