Question

如圖，在矩形OABC中，已知A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，0），C（0，2），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)P是∠AOC平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合）．
（1）試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處，PC與PD總相等；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B的距離最小時(shí)，試確定過O，P，D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點(diǎn)P，使∠CPN=90°？若存在，請寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）證簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，結(jié)合本題，證△COP≌△DOP即可；已知OC=OD=3，OP=OP，∠COP=∠DOP=45°，由SAS即可得證；
（2）設(shè)射線OP與BC的交點(diǎn)為F，易知△COF是等腰直角三角形，則CF=OC=BF=2；過B作OP的垂線，那么此時(shí)P、B距離最短，過P作PM⊥BC于M，易證得△BPF也是等腰直角三角形，即可求得PM、FM的長，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，而O、B的坐標(biāo)已知，即可利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（3）由于矩形的對稱中心是對角線的交點(diǎn)，那么它的坐標(biāo)應(yīng)該是（2，1）；此題應(yīng)該分兩種情況：
①由于射線交BC于F（2，2），顯然F點(diǎn)符合點(diǎn)P的要求，
②當(dāng)P點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，可分別表示出直線CP、DP的斜率，若∠CPN=90°，那么兩個(gè)斜率的積為-1，可據(jù)此求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，
∴OD=OC，
又∵OP是∠COD的角平分線，
∴∠POC=∠POD=45°，
∴△POC≌△POD，故PC=PD；

（2）過點(diǎn)B作∠AOC的平分線的垂線，垂足為P，點(diǎn)P即為所求，
易知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=

1

2

BF=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）
由于拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，可設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)P（3，3）和點(diǎn)D（2，0）
∴

9a+3b=3 4a+2b=0

，
解得

a=1 b=-2

，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x．

（3）假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn)．
矩形的對稱中心為對角線的交點(diǎn)，故N（2，1）．
①當(dāng)P點(diǎn)在N點(diǎn)上方時(shí)；由（2）知F（2，2），且∠NFC=90°，顯然F點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求，
故P（2，2）
②當(dāng)P點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí)；設(shè)P（a，a），則：
∵C（0，2），N（2，1）
由勾股定理得，CP²+PN²=CN²，即a²+（a-2）²+（2-a）²+（1-a）²=5，即4a²-10a+4=0
解得a=

1

2

或a=2，
故P（

1

2

，

1

2

）
綜上可知：存在點(diǎn)P，使∠CPN=90°，其坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

）或（2，2）．

點(diǎn)評：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定、互相垂直的兩直線的斜率關(guān)系等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．