Question

（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）、（3）小題滿分各5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點(diǎn)M在線段AP上，點(diǎn)N在線段BP上，EM＝EN，．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求CM的長；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合，設(shè)AP＝x，BN＝y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點(diǎn)A、M、E分別與△ENB的頂點(diǎn)E、N、B對(duì)應(yīng)），求AP的長．

Answer 1

(本題滿分14分，第(1)小題滿分4分，第(2)、(3)小題滿分各5分)
[解] (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，ÞCP=24，又sinÐEMP=ÞCM=26。
(2) 在Rt△AEP與Rt△ABC中，∵ÐEAP=ÐBAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC，
∴，即，∴EP=x，
又sinÐEMP=ÞtgÐEMP==Þ=，∴MP=x=PN，
BN=AB-AP-PN=50-x-x=50-x (0<x<32)。
(3) j當(dāng)E在線段AC上時(shí)，由(2)知，，即，ÞEM=x=EN，
又AM=AP-MP=x-x=x，
由題設(shè)△AME ~ △ENB，∴，Þ=，解得x=22=AP。
k當(dāng)E在線段BC上時(shí)，由題設(shè)△AME ~ △ENB，∴ÐAEM=ÐEBN。
由外角定理，ÐAEC=ÐEAB+ÐEBN=ÐEAB+ÐAEM=ÐEMP，
∴Rt△ACE ~ Rt△EPM，Þ，即，ÞCE=…j。
設(shè)AP=z，∴PB=50-z，
由Rt△BEP ~ Rt△BAC，Þ，即=，ÞBE=(50-z)，∴CE=BC-BE=30-(50-z)…k。
由j，k，解=30-(50-z)，得z=42=AP。

略