如圖(1),AB是⊙O的直徑,射線AT⊥AB,點P是射線AT上的一個動點(P與A不重合),PC與⊙O相切于C,過C作CE⊥AB于E,連接BC并延長BC交AT于點D,連接PB交CE于F.
(1)請你寫出PA、PD之間的關(guān)系式,并說明理由;
(2)請你找出圖中有哪些三角形的面積被PB分成兩等分,并加以證明;
(3)設(shè)過A、C、D三點的圓的半徑是R,當(dāng)CF=
14
R時,求∠APC的度數(shù),并在圖(2)中作出點P.(要求尺規(guī)作圖,不寫作法,但要保留作圖痕跡)
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分析:(1)連接AC,由AT,PC為⊙O的兩條切線可得PA=PC,∠PAC=∠PCA,由AB為⊙O的直徑可得∠ACB=90°,故∠PAC+∠ADC=∠PCA+∠PCD=90°,由此可以得到∠ADC=∠PCD,PC=PD=PA;
(2)由(1)知PD=PA,且同高,可見△ABD被PB分成面積相等的兩個三角形;由AT⊥AB,DE⊥AB可得CE∥AT,然后得到
CF
PD
=
BF
BP
=
EF
PA
,又PD=PA,所以可得CF=EF,所以△CEB也被PB分成面積相等的兩個三角形;
(3)由PA=PD=PC,可知PA為△ACD的外接圓的半徑,由(2)知CF=EF,EF=
1
4
PA,再根據(jù)EF∥AT可得
BE
AB
=
EF
PA
=
1
4
,從而可得CE=
3
BE,在Rt△ACE中,可求出∠CAE=30°,又∵AT⊥AB,可得∠PAC=60°,△PAC為等邊三角形,所以得到∠APC=60°.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)如圖,連接AC,
∵AT⊥AB,AB是⊙O的直徑
∴AT是⊙O的切線
又PC是⊙O的切線
∴PA=PC
∴∠PAC=∠PCA
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠PAC+∠ADC=90°,∠PCA+∠PCD=90°
∴∠ADC=∠PCD
所以PD=PC=PA;

(2)由(1)知PD=PA
∴△ABD被PB分成面積相等的兩個三角形
∵AT⊥AB,CE⊥AB
∴AT∥CE
∴CF:PD=BF:BP,EF:PA=BF:BP
所以CF:PD=EF:PA
所以CF=EF
可見△CEB也被PB分成面積相等的兩個三角形;

(3)由(1)知PA=PC=PD
∴PA是△ACD的外接圓的半徑,即PA=R
由(2)知,CF=EF,而CF=
1
4
R
∴EF=
1
4
PA
所以
EF
PA
=
1
4

∵EF∥AT
BE
AB
=
EF
PA
=
1
4
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∴CE=
3
BE
在Rt△ACE中
∵tan∠CAE=
3
3

∴∠CAE=30°
∴∠PAC=90°-∠CAE=60°
而PA=PC
∴△PAC是等邊三角形
∴∠APC=60°
P點的作圖方法見圖.
點評:本題主要考查切線的性質(zhì),相似三角形的判定,三角函數(shù)等知識點,在解題時要注意數(shù)形結(jié)合.題目的難度比較大,綜合性比較強(qiáng).
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知直線AB是⊙O的切線,A為切點,OB交⊙O于點C,點D在⊙O上,且∠OBA=40°,則∠ADC=
 
度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖(1),AB是半徑為R的⊙O的一條弦,點P是⊙O上任意一點(與A、B不重合)若R=2,AB=2
3

(1)若點P在⊙O優(yōu)弧AB上,AP、BP分別與以AB為直徑的圓交于C、D點
①請利用圖(1)求∠APB的度數(shù).
②請利用圖(2)求CD的長.
(2)若點P是⊙O劣弧AB上一點,如圖(3)AP、BP的延長線分別交以AB為直徑的圓于C、D,你還能求出CD的長嗎?若能,請求出CD的長;若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•歷城區(qū)二模)(1)已知:如圖1所示,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.求證:BC=ED.
(2)如圖2所示,AB是⊙O的切線,切點為A,OA=1,∠AOB=60°,求圖中陰影部分的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知:AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,CE平分∠DCO交⊙O于點E.
(1)求證:點E平分弧ADB;
(2)若⊙O的半徑為2,CD=2
3

①求點O到弦AC的距離;
②在圓周上,共有幾個點到直線AC的距離為1的點,在圖中畫出這些點,并指出△AOC的外接圓的圓心的位置;
③若圓上有一動點P從點A出發(fā),順時針方向在圓上運動一周,當(dāng)S△POA=S△AOC時,求點P所走過的弧長.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,⊙O中,AB是直徑,半徑CO⊥AB,D是CO的中點,DE∥AB,求證:
EC
=2
EA

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