Question

（2012•黑河）如圖，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=2，OC=3．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若點(diǎn)D（2，2）是拋物線上一點(diǎn)，那么在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BDP的周長最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
注：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是直線x=-

b

2a

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OC=3，可知c=3，于是得到拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+bx+3，然后將A（-2，0）代入解析式即可求出b的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）由于BD為定值，則△BDP的周長最小，即BP+DP最小，由于點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則即BP+DP=AP+DP，當(dāng)A、P、D共線時(shí)BP+DP=AP+DP最�。�

解答：解：（1）∵OA=2，OC=3，
∴A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，
將A（-2，0）代入y=-

1

2

x²+bx+3得，-

1

2

×（-2）²-2b+3=0，
解得b=

1

2

，
可得函數(shù)解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x+3；

（2）如圖：連接AD，與對(duì)稱軸相交于P，由于點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則即BP+DP=AP+DP，當(dāng)A、P、D共線時(shí)BP+DP=AP+DP最�。�
設(shè)AD的解析式為y=kx+b，
將A（-2，0），D（2，2）分別代入解析式得，

-2k+b=0 2k+b=2

，
解得，

k= 1 2 b=1

，故直線解析式為y=

1

2

x+1，（-2＜x＜2），
由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-

1 2

2×(- 1 2 )

=

1

2

，
則當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=

1

2

×

1

2

+1=

5

4

，
故P（

1

2

，

5

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和軸對(duì)稱---最短路徑問題，先假設(shè)存在P，若能解出P的坐標(biāo)，則P存在；否則，P不存在．