Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，1），過(guò)點(diǎn)A的直線l垂直于線段AB，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸，垂足為C，把△ACP沿AP翻折180°，使點(diǎn)C落在點(diǎn)D處．若以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△ABP相似，則所有滿足此條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．

Answer 1

【答案】P（4,4）,p（0,﹣4）,P（ ,﹣1）,P（ ,1）
【解析】解：∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，1），

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+1

∵直線l過(guò)點(diǎn)A（2，0），且l⊥AB，

∴直線L的解析式為；y=2x﹣4，

∠BAO+∠PAC=90°，

∵PC⊥x軸，

∴∠PAC+∠APC=90°，

∴∠BAO=∠APC，

∵∠AOB=∠ACP，

∴△AOB∽△PCA，

∴ = ，

∴ = = ，

設(shè)AC=m，則PC=2m，

∵△PCA≌△PDA，

∴AC=AD，PC=PD，

∴ = = ，

如圖1：當(dāng)△PAD∽△PBA時(shí)，

則 = ，

則 = = ，

∵AB= = ，

∴AP=2 ，

∴m2+（2m）2=（2 ）2，

∴m=±2，

當(dāng)m=2時(shí)，PC=4，OC=4，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，4），

當(dāng)m=﹣2時(shí)，如圖2，

PC=4，OC=0，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣4），

如圖3，若△PAD∽△BPA，

則 = = ，

PA= AB= ，

則m2+（2m）2=（ ）2，

∴m=± ，

當(dāng)m= 時(shí)，PC=1，OC= ，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，1），

當(dāng)m=﹣ 時(shí)，如圖4，PC=1，OC= ，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，﹣1）；

所以答案是：P（4，4），p（0，﹣4），P（ ，﹣1），P（ ，1）．

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和翻折變換（折疊問題），需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等才能得出正確答案．