Question

【題目】已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB＝AC，點D在⊙O上，AD⊥AB于點A，AD與BC交于點E，F在DA的延長線上，且AF＝AE.

(1)求證：BF與⊙O相切.

(2)若BF＝5，cosC＝，求⊙O的半徑.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)⊙O半徑為.

【解析】

(1)連接BD，由于AB=AC，則∠ABC＝∠C，由AF=AE，則∠EBA=∠FBA，從而得出∠ABD+∠FBA=90°，即OB⊥BF，則BF是⊙O切線；

(2) 因為∠C＝∠D，得cos∠D＝=，設(shè)BD＝4x，DF＝5x，由BD2+BF2＝DF2列出關(guān)于x的方程并求解，從而求出BD.

(1)連接BD，

∵AD⊥AB，

∴∠BAD＝90°，

∴BD是直徑，BD過圓心，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

又∵∠C＝∠D，

∴∠ABC＝∠D，

∵AD⊥AB，

∴∠ABD+∠D=90°，

∵AF=AE，BA⊥EF，

∴AB是EF的垂直平分線，

∴BE=BF，

∴∠EBA=∠FBA，

∴∠ABF=∠D，

∵∠ABD+∠D=90°，

∴∠ABD+∠ABF＝90°，

∴∠DBF＝90°，

∴OB⊥BF，

又∵OB是⊙O的半徑，

∴BF是⊙O切線；

(2)∵∠C＝∠D，

∴cos∠D＝cos∠C＝，

在Rt△BDF中，

cos∠D＝=，

∴設(shè)BD＝4x，DF＝5x，

又∵BD2+BF2＝DF2，

∴(4x)2+52＝(5x)2，

x＝，

∵x＞0

∴x＝，

∴BD＝4×＝ ，

∴OB＝BD＝，

∴⊙O半徑為.