Question

如圖，以⊙O兩條互相垂直的直徑所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)軸交⊙O于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)P在弧CD上，連PA交y軸于點(diǎn)E，連CP并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)F．
（1）求∠FPE的度數(shù)；
（2）求證：OB²=OE•OF；
（3）若⊙O的半徑為

3

，以線段OE，OF的長(zhǎng)為根的一元二次方程為x²-

5

2

3

x+m=0，求直線CF的解析式；
（4）在（3）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PM與x軸交于點(diǎn)M，求△PCM的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理可知∠APC=90°，很顯然∠FPE=90°．
（2）很顯然本題要證的是△OCF和△OEA相似，這兩個(gè)三角形中已知的條件有一組直角，而∠OAE和∠OCF是一組對(duì)頂角的余角因此也相等，得出這兩個(gè)三角形相似后可知：OA•OC=OE•OF，而OA=OB=OC，由此可得證．
（3）根據(jù)韋達(dá)定理可知OE•OF=m，根據(jù)（2）的結(jié)論可知：OE•OF=3，因此m=3，據(jù)此可求出OE，OF的長(zhǎng)，即可得出F的坐標(biāo)．
根據(jù)C、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)可用待定系數(shù)法求出直線CF的解析式．
（4）根據(jù)（2）可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，也就能求出直線AE的解析式，聯(lián)立直線CF的解析式即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．
連接OP，則OP⊥PM，可先求出直線OP的解析式，然后根據(jù)OP⊥PM得出直線PM的解析式即可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
已知了M點(diǎn)的坐標(biāo)就能求出MC的長(zhǎng)，然后根據(jù)P點(diǎn)縱坐標(biāo)即可求出△MCP的面積．
（另一種解法：先在直角三角形APC中，用AC的長(zhǎng)和∠CAP的余弦值求出AP的長(zhǎng)，同理求出PN，AN的長(zhǎng)，即可得出ON的長(zhǎng)．然后在直角三角形OPM中根據(jù)射影定理求出MN的長(zhǎng)，即可求出MC的長(zhǎng)，已知了MC和PN的長(zhǎng)即可求出三角形PMC的面積．）

解答：解：（1）根據(jù)圓周角定理：∠APC=90°，∴∠FPE=90°．

（2）∵∠OAE=∠PFE=90°-∠OEA=90°-∠PEF，
∴∠OAE=∠EFP．
∵∠AOE=∠FOC=90°，
∴△AOE∽△FOC．
∴

OE

OC

=

OA

OF

．
∵OA=OB=OC，
∴OB²=OE•OF．

（3）由題意知：OE•OF=m=OB²=3，
∴m=3．
∴x²-

5 3

2

x+3=0，解得x=

3

2

，x=2

3

．
∵OF＞OE，
∴OE=

3

2

，OF=2

3

，即E（0，-

3

2

），F(xiàn)（0，-2

3

）；
設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b，易知：C（-

3

，0），則有：

- 3 k+b=0 b=-2 3

，解得

k=-2 b=-2 3

．
∴直線CF的解析式為y=-2x-2

3

．

（4）過(guò)P作PN⊥x軸于N．
在直角三角形OAE中，OA=

3

，OE=

3

2

，因此AE=

15

2

．
在直角三角形ACP中，AP=AC•cos∠OAE=AC•

OA

AE

=2

3

•

3

15 2

=

4 15

5

．
在直角三角形APN中，PN=AP•sin∠OAE=AP•

OE

AE

=

4 15

5

•

3 2

15 2

=

4 3

5

；
AN=AP•cos∠OAE=

4 15

5

•

3

15 2

=

8 3

5

，
∴ON=AN-OA=

3 3

5

．
在直角三角形MPO中，根據(jù)射影定理可得：
PN²=ON•MN，∴MN=

16 3

15

，
∴MC=MN+PN-OC=

2 3

3

．
∴S_△PCM=

1

2

•MC•PN=

1

2

×

2 3

3

×

4 3

5

=

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題為一次函數(shù)綜合題，主要考查了圓的相關(guān)知識(shí)和圖形面積的求法，難度適中．