Question

已知△ABC中，∠A=α，點D、E、F分別在BC、AB、AC上．
（1）如圖1，若BE=BD，CD=CF，則∠EDF=

90°-

1

2

α

；
（2）如圖2，若BD=DE，DC=DF，則∠EDF=

180°-2α

；
（3）如圖3，若BD=CF，CD=BE，AB=AC，則∠EDF=

90°-

1

2

α

；
（2）如圖4，若DE⊥AB，DF⊥BC，AB=AC，則∠EDF=

90°-

1

2

α

．

Answer 1

分析：（1）由△ABC中，∠A=α，可求得∠B+∠C的值，又由BE=BD，CD=CF，根據等腰三角形的性質，即可求得∠BDE+∠CDF的值，繼而求得答案；
（2）由△ABC中，∠A=α，可求得∠B+∠C的值，又由BD=DE，DC=DF，根據等腰三角形的性質，即可求得∠BDE+∠CDF的值，繼而求得答案；
（3）由△ABC中，∠A=α，AB=AC，可求得∠B的值，易證得△BDE≌△CFD，繼而可求得∠EDF=∠B；
（4）由△ABC中，∠A=α，AB=AC，可求得∠B的值，又由DE⊥AB，DF⊥BC，可求得∠EDF=∠B．

解答：解：（1）∵∠A=α，
∴∠B+∠C=180°-α，
∵BE=BD，CD=CF，
∴∠BED=∠BDE，∠CFD=∠CDF，
∴∠BDE+∠CDF=

1

2

（180°-∠B）+

1

2

（180°-∠C）=180°-

1

2

（∠B+∠C）=90°+

1

2

α，
∴∠EDF=180°-（∠BDE+∠CDF）=90°-

1

2

α；

（2）∵∠A=α，
∴∠B+∠C=180°-α，
∵BD=DE，DC=DF，
∴∠BED=∠B，∠CFD=∠C，
∴∠BDE=180°-2∠B，∠CDF=180°-2∠C，
∴∠BDE=180°-（∠BED+∠CDF）=2（∠B+∠C）-180°=180°-2α；

（3）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠B=∠C=90°-

1

2

α，
在△BDE和△CFD中，

BD=CF ∠B=∠C BE=CD

，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BED=∠CDF，
∵∠B+∠BDE+∠BED=180°，∠BDE+∠CDF+∠EDF=180°，
∴∠EDF=∠B=90°-

1

2

α；

（4）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠B=∠C=90°-

1

2

α，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BDE+∠EDF=90°，∠B+∠BDE=90°，
∴∠EDF=∠B=90°-

1

2

α．
故答案為：（1）90°-

1

2

α，（2）180°-2α，（3）90°-

1

2

α，（4）90°-

1

2

α．

點評：此題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質以及三角形內角和定理．此題難度適中，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．