Question

（2012•咸寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為（0，4），動點A以每秒1個單位長的速度，從點O出發(fā)沿x軸的正方向運動，M是線段AC的中點．將線段AM以點A為中心，沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AB．過點B作x軸的垂線，垂足為E，過點C作y軸的垂線，交直線BE于點D．運動時間為t秒．
（1）當(dāng)點B與點D重合時，求t的值；
（2）設(shè)△BCD的面積為S，當(dāng)t為何值時，S=

25

4

？
（3）連接MB，當(dāng)MB∥OA時，如果拋物線y=ax²-10ax的頂點在△ABM內(nèi)部（不包括邊），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于∠CAB=90°，易證得Rt△CAO∽Rt△ABE；當(dāng)B、D重合時，BE的長已知（即OC長），根據(jù)AC、AB的比例關(guān)系，即可得到AO、BE的比例關(guān)系，由此求得t的值．
（2）求△BCD的面積時，可以CD為底、BD為高來解，那么表示出BD的長是關(guān)鍵；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例關(guān)系，即可通過相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出BE的長，進(jìn)一步得到BD的長，在表達(dá)BD長時，應(yīng)分兩種情況考慮：①B在線段DE上，②B在ED的延長線上．
（3）首先將拋物線的解析式進(jìn)行配方，可得到拋物線的頂點坐標(biāo)，將其橫坐標(biāo)分別代入直線MB、AB的解析式中，可得到拋物線對稱軸與這兩條直線的交點坐標(biāo)，根據(jù)這兩個坐標(biāo)即可判定出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CAO=∠ABE．
∴Rt△CAO∽Rt△ABE．
∴

CA

AB

=

AO

BE

．
∴

2AB

AB

=

t

4

．
∴t=8．

（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE=

1

2

t，AE=2．
當(dāng)0＜t＜8時，S=

1

2

CD•BD=

1

2

（2+t）（4-

t

2

）=

25

4

．
∴t₁=t₂=3．
當(dāng)t＞8時，S=

1

2

CD•BD=

1

2

（2+t）（

t

2

-4）=

25

4

．
∴t₁=3+5

2

，t₂=3-5

2

（為負(fù)數(shù)，舍去）．
當(dāng)t=3或3+5

2

時，S=

25

4

．

（3）過M作MN⊥x軸于N，則MN=

1

2

CO=2．
當(dāng)MB∥OA時，BE=MN=2，OA=2BE=4．
拋物線y=ax²-10ax的頂點坐標(biāo)為（5，-25a）．
它的頂點在直線x=5上移動．
直線x=5交MB于點（5，2），交AB于點（5，1）．
∴1＜-25a＜2．
∴-

2

25

＜a＜-

1

25

．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，該題是圖形的動點問題，前兩問的關(guān)鍵在于找出相似三角形，得到關(guān)鍵線段的表達(dá)式，注意點在運動過程中未知數(shù)的取值范圍問題．最后一問中，先得到拋物線的頂點坐標(biāo)是簡化解題的關(guān)鍵．