【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣2x+10與x軸,y軸相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(8,4),連接AC,BC

(1)求過O,A,C三點(diǎn)的拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;

(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿OB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)t為何值時(shí),PA=QA?

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在點(diǎn)M,使以A,B,M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由

【答案】(1),直角三角形;(2);(3)M1,),M2,),M3,),M4,).

【解析】

試題分析:(1)先確定出點(diǎn)A,B坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形;

(2)根據(jù)運(yùn)動(dòng)表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判斷出Rt△AOP≌Rt△ACQ,得到OP=CQ即可;

(3)分三種情況用平面坐標(biāo)系內(nèi),兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可

試題解析:(1)∵直線y=﹣2x+10與x軸,y軸相交于A,B兩點(diǎn),∴A(5,0),B(0,10),∵拋物線過原點(diǎn),∴設(shè)拋物線解析式為,∵拋物線過點(diǎn)B(0,10),C(8,4),∴,∴,∴拋物線解析式為,∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),∴==125,==100,==25,∴,∴△ABC是直角三角形.

(2)如圖1,當(dāng)P,Q運(yùn)動(dòng)t秒,即OP=2t,CQ=10﹣t時(shí),由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,在Rt△AOP和Rt△ACQ中,AC=OA,PA=QA,∴Rt△AOP≌Rt△ACQ,∴OP=CQ,∴2t=10﹣t,∴t=,∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí),PA=QA;

(3)存在,∵,∴拋物線的對(duì)稱軸為x=,∵A(5,0),B(0,10),∴AB=

設(shè)點(diǎn)M(,m)

①若BM=BA時(shí),∴,∴m1=,m2=,∴M1,),M2,

②若AM=AB時(shí),∴,∴m3=,m4=,∴M3,),M4,;

③若MA=MB時(shí),∴,∴m=5,∴M(,5),此時(shí)點(diǎn)M恰好是線段AB的中點(diǎn),構(gòu)不成三角形,舍去;

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為:M1,),M2,),M3,),M4

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簡單應(yīng)用:

(1)在圖①中,若AC=,BC=,則CD=

(2)如圖③,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C、D在⊙上,,若AB=13,BC=12,求CD的長

拓展規(guī)律:

(3)如圖④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的長(用含m,n的代數(shù)式表示)

(4)如圖⑤,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),若點(diǎn)E滿足AE=AC,CE=CA,點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn),則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是

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