Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一張等腰直角三角形紙片ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，1），且拋物線y=ax²+ax-4a經(jīng)過點(diǎn)B．
（Ⅰ）求拋物線的解析式；
（Ⅱ）求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（Ⅲ）以AC所在直線為對(duì)稱軸，將△ABC折疊，問點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B₁是否落在拋物線上？再以AC的中點(diǎn)為對(duì)稱中心，將△ABC作中心對(duì)稱變換，這時(shí)點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B₂是否落在拋物線上？若在，求出它們的坐標(biāo)；若不在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)圖象經(jīng)過B點(diǎn)直接代入解析式求出a即可；
（Ⅱ）首先過點(diǎn)B作BD⊥x軸，證明△BCD≌△CAO，進(jìn)而得出A，C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）首先證明△MB₁C≌△DBC，同理可證△AB₂N≌△CAO，即可得出點(diǎn)B₁（1，-1）與點(diǎn)B₂（2，1），進(jìn)而得出答案．
解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y=ax²+ax-4a經(jīng)過點(diǎn)B，
∴1=9a-3a-4a，
解得：a=；
∴拋物線的解析式為：y=x²+x-2；

（Ⅱ）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∵點(diǎn)B坐標(biāo)是（-3，1），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)S是（0，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1，0）；

（Ⅲ）B₁和B₂都在拋物線上，
延長BC至點(diǎn)B₁，使得B₁C=BC，得到點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B₁，
過點(diǎn)B₁作B₁M⊥x軸，
∵CB₁=CB，∠MCB₁=∠BCD，∠B₁MC=BDC=90°，
∴△MB₁C≌△DBC，
∴CM=CD=2，B₁M=BD=1，
可求得點(diǎn)B₁（1，-1），
過點(diǎn)A作AB₂∥CB，且AB₂=CB，得到點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B₂，
過點(diǎn)B₂作B₂N⊥y軸，
同理可證△AB₂N≌△CAO，
∴NB₂=OA=2，AN=OC=1，
可求得點(diǎn)B₂（2，1），
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)B₁（1，-1）與點(diǎn)B₂（2，1）都在拋物線y=x²+x-2上．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定，熟練利用全等三角形的判定以及性質(zhì)得出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．