【題目】在△ABC中,BC=AC,∠C=90°,直角頂點(diǎn)C在x軸上,一銳角頂點(diǎn)B在y軸上.
(1)如圖①若AD于垂直x軸,垂足為點(diǎn)D.點(diǎn)C坐標(biāo)是(﹣1,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(﹣3,1),求點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)如圖②,直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng),若y軸恰好平分∠ABC,AC與y軸交于點(diǎn)D,過點(diǎn)A作AE⊥y軸于E,請(qǐng)猜想BD與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
(3)如圖③,直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng),使點(diǎn)A在第四象限內(nèi),過A點(diǎn)作AF⊥y軸于F,在滑動(dòng)的過程中,請(qǐng)猜想OC,AF,OB之間有怎樣的關(guān)系(直接寫出結(jié)論,不需要證明)
【答案】(1)(0,2);(2)BD=2AF;(3)OC=OB+AF.
【解析】試題分析:(1)只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求.
(2)先說明BD與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系,然后針對(duì)得到的數(shù)量關(guān)系,作出合適的輔助線,畫出相應(yīng)的圖形,根據(jù)等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線三線合一,可以最終證得所要說明的數(shù)量關(guān)系;
(3)先猜想OC、AF、OB之間的關(guān)系,然后根據(jù)猜想作出合適的輔助線,畫出相應(yīng)的圖形,然后證明所要證明的結(jié)論即可.
試題解析:(1)∵點(diǎn)C坐標(biāo)是(1,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,1)
∴AD=OC,
在Rt△ADC和Rt△COB中, ,
∴Rt△ADC≌Rt△COB(HL),
∴OB=CD=2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,2);
(2)BD=2AF,
理由:作AE的延長線交BC的延長線于點(diǎn)F,如下圖所示,
∵△ABC是等腰直角三角形,BC=AC,直角頂點(diǎn)C在x軸上,AE⊥y軸于E,
∴∠BCA=∠ACF=90°,∠AED=90°,
∴∠DBC+∠BDC=90°,∠DAE+∠ADE=90°,
∵∠BDC=∠ADE,
∴∠DBC=∠FAC,
在△BDC和△AFC中,
,
∴△BDC≌△AFC(ASA)
∴BD=AF,
∵BE⊥AE,y軸恰好平分∠ABC,
∴AF=2AE,
∴BD=2AF;
(3)OC=OB+AF,
證明:作AE⊥OC于點(diǎn)E,如下圖所示,
∵AE⊥OC,AF⊥y軸,
∴四邊形OFAE是矩形,∠AEC=90°,
∴AF=OE,
∵△ABC是等腰直角三角形,BC=AC,直角頂點(diǎn)C在x軸上,∠BOC=90°,
∴∠BCA=90°,
∴∠BCO+∠CBO=90°,∠BCO+∠ACE=90°,
∴∠CBO=∠ACE,
在△BOC和△CEO中,
,
∴△BOC≌△CEO(AAS)
∴OB=CE,
∵OC=OE+EC,OE=AF,OB=EC,
∴OC=OB+AF.
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【題目】如圖,在△ABC中,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心,大于AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)M,N,作直線MN,交BC于點(diǎn)D,連接AD.若△ADC的周長為10,AB=7,則△ABC的周長為 .
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【題目】下列說法中錯(cuò)誤的有( 。
①絕對(duì)值是它本身的數(shù)有兩個(gè),它們是0和1
②一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值必為正數(shù)
③2的相反數(shù)的絕對(duì)值是2
④任何數(shù)的絕對(duì)值都不是負(fù)數(shù)
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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【題目】已知:如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊CD上,AQ⊥BE于點(diǎn)Q,DP⊥AQ于點(diǎn)P.
(1)求證:AP=BQ;
(2)在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖中四對(duì)線段,使每對(duì)中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長.
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【題目】數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn),某數(shù)軸的單位長度是1厘米,若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長2018厘米的線段AB,則線段AB蓋住的整點(diǎn)個(gè)數(shù)有( 。
A. 2018或2019 B. 2017或2018 C. 2016或2017 D. 2019或2020
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【題目】用反證法證明:如果兩個(gè)整數(shù)的積是偶數(shù)那么這兩個(gè)整數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù).
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【題目】下列所述圖形中,是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是 ( )
A.平行四邊形B.等邊三角形C.正五邊形D.菱形
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