Question

【題目】如圖,已知y=3x+3與x軸交于點B,與y軸交于點A,與函數(shù)y=x的圖象交于點P
（1）在該坐標系中畫出函數(shù)y= 的圖象,并說明點P也在函數(shù)y= 的圖象上；
（2）設直線y= 與x軸交于點C，與y軸交于點D，求證：PO平分∠APC；
（3）連接AC，求△APC的面積；
（4）在y軸上，是否存在點M，使△ACM為等腰三角形?若存在，請直接寫出符合條件的所有點M的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，解方程組，得

y=3x+3 y=x

得

x=- 3 2 y=- 3 2

，
則P點坐標為（-

3

2

，-

3

2

），
當x=-

3

2

時，y=

1

3

x(-1=

1

3

×（-

3

2

）-1=-

3

2

，所以點P在函數(shù)y=x-1

的圖象上

（2）證明：∵點A（0，3）和點C（3，0）關于直線y=x對稱，
∴直線y=x垂直平分AC，
∴PO平分∠APC；
（3）解：B（-1，0），A（0，3），
△APC的面積=S△ABC+S△PBC
= ×（3+1）×3+ ×（3+1）×3=9．
（4）AC=,
當AC=AM時，OM=AM-OA=-3，M坐標為（0，3-）或（0，3+）；
當CA=CM時，OA=OM=3，M坐標為（0.-3）；
當MA=MC時，M在原點，坐標為（0，0）
【解析】

（1）兩直線相交或平行：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同，由此可進行求解．（2）可證明PO所在三角形為等腰三角形，即直線y=x垂直平分AC，可得到平分頂角；（4）等腰三角形需分為三類，A、C、M分別為頂角頂點，由等腰三角形的性質(zhì)可求出M坐標.