Question

(本小題滿分12分)

   如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上．已知，，△ABC的面積，拋物線

經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)。

   1.(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

   2.(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H，得到矩形EFGH．則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長；

   3.(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M，使△MBC中BC邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.解：（1）∵，設(shè)，則

∴

又，∴

∵

∴，即。

而，∴。

∴,

∴△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

,,

∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，

∴設(shè)，把代入得

∴此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

 

2.（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，

∵點(diǎn)E在Y軸右側(cè)的拋物線上，∴。

有拋物線的對(duì)稱性，知點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，

易得點(diǎn)F的坐標(biāo)為。

要使矩形EFGH能成為正方形，有,

則

∴  ①

或  ②

由①得，，解得（舍去）

由②得，，解得（舍去）

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)正方形EFGH的邊長為。

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)正方形EFGH的邊長為。

∴當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，該正方形的邊長為或

3.（3）假設(shè)存在點(diǎn)M，使△MBC中BC邊上的高為。

∴M點(diǎn)應(yīng)在與直線BC平行，且相距的兩條平行直線和上。

由平行線的性質(zhì)可得：和與y軸的交點(diǎn)到直線BC的距離也為。

如圖，設(shè)與y軸交于P點(diǎn),過P作PQ與直線BC垂直，垂足為點(diǎn)Q，

∵，

∴∠OBC=∠OCB=45°

在Rt△PQC中，，∠PCQ=∠OCB=45°

∴由勾股定理，得

∴直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(0,9)

同理可求得：與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，

易知直線BC的函數(shù)表達(dá)式。

∴直線和的函數(shù)表達(dá)式分別為。

根據(jù)題意，列出方程組：①，②

由①得，，解得；

由②得，

∵△=-31<0

∴此方程無實(shí)數(shù)根。

∴在拋物線上存在點(diǎn)M，使△MBC中BC邊上的高為，其坐標(biāo)分別為：

另解：易求直線BC的表達(dá)式為：

整理得

設(shè)

由點(diǎn)到直線的距離得

解得

∴或（無實(shí)數(shù)根）

∴或

代入得。

 

解析:略