Question

（2012•浙江一模）如圖Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，點P是AC上的一個動點（P不與點A、點C重合），PQ⊥AB，垂足為Q，當PQ與△ABC的內切圓⊙O相切時，PC的值為（　　）

• A．

  1

  2

• B．1
• C．

  3

  2

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：畫出圖形，證出△BCP′≌△BQ′P′，推出P′C=P′Q′，設P′C=P′Q′=a，證△AQ′P′∽△ACB，推出

P′Q′

BC

=

AP′

AB

，代入求出

a

3

=

4-a

5

，求出a即可．

解答：解：
當PQ到P′Q′時，與⊙O相切，
此時OB平分∠CBA，OP′平分∠CP′Q′，且B、O、P′共線，
在△BCP′和△BQ′P′中
∵

∠CBP′=∠Q′BP′ ∠C=∠BQ′P′ BP′=BP′

，
∴△BCP′≌△BQ′P′，
∴P′C=P′Q′，
設P′C=P′Q′=a，
∵∠A=∠A，∠C=∠P′Q′A=90°，
∴△AQ′P′∽△ACB，
∴

P′Q′

BC

=

AP′

AB

，
即

a

3

=

4-a

5

，
解得：a=

3

2

，
故選C．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，三角形的內切圓等知識點，通過做此題培養(yǎng)了學生的推理能力，此題綜合性比較強，有一定的難度．