Question

3．閱讀材料：
已知兩數(shù)的和為4，求這兩個(gè)數(shù)的積的最大值．
（1）解：設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為（4-x），令它們的積為y，則：
y=x（4-x）
=-x²+4x
=-（x-2）²+4．
∵-1＜0，
∴y_最大值=4．
問題解決：
（1）若一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為20cm，則它面積的最大值為25cm²．
（2）觀察下列兩個(gè)數(shù)的積，猜想哪兩個(gè)數(shù) 積最大，并用二次函數(shù)的知識(shí)說明理由：
99×1.98×2.97×3.96×4，…，50×50．
拓展應(yīng)用：
（3）若m、n為任意實(shí)數(shù)，則代數(shù)式（m-2n）（8-m+2n）的最大值是16，此時(shí)，m和n之間的關(guān)系式是m=2n+4．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再求其最值即可；
（2）列舉法可以得出50×50=2500最大，然后用二次函數(shù)的知識(shí)說明理由即可；
（3）設(shè)y=（m-2n）（8-m+2n）=（m-2n）[8-（m-2n）]，則y=-（m-2n）²+8（m-2n），根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，則另一邊長(zhǎng)為（10-x）cm，
∴其面積為s=x（10-x）=-x²+10x=-（x-5）²+25，
∴當(dāng)x=5時(shí)，s_最大=25．
∴當(dāng)矩形的長(zhǎng)為5cm時(shí)，面積有最大值是25cm²．
故答案為：25；

（2）50×50=2500的乘積最大，
猜想驗(yàn)證，∵兩個(gè)數(shù)的和為100，當(dāng)兩個(gè)數(shù)分別為50時(shí)，乘積最大．
理由：設(shè)這兩個(gè)數(shù)的乘積為n，其中一個(gè)數(shù)為x，另一個(gè)數(shù)為m-x，由題意，得
n=x（m-x），
n=-x²+mx，
n=-（x-$\frac{m}{2}$）²+$\frac{{m}^{2}}{4}$；
∴a=-1＜0，
∴當(dāng)x=$\frac{m}{2}$時(shí)，n_最大=$\frac{{m}^{4}}{4}$；

（3）設(shè)y=（m-2n）（8-m+2n）=（m-2n）[8-（m-2n）]，
則y=-（m-2n）²+8（m-2n），
當(dāng)m-2n=-$\frac{8}{2（-1）}$=4時(shí)，
y_最大=$\frac{-64}{4×（-1）}$=16，
∴代數(shù)式（m-2n）（8-m+2n）的最大值是16，m和n之間的關(guān)系式是m=2n+4，
故答案為：16，m=2n+4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)題意列出二次函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．