Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx（k≠0）與雙曲線y＝（x＞0）交于點(diǎn)A（2，n）．

（1）求n及k的值；

（2）點(diǎn)B是y軸正半軸上的一點(diǎn)，且△OAB是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）n=4，k=2；（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8），（0，2），（0，）．

【解析】

（1）由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出n值，進(jìn)而可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出k值；

（2）分AB＝AO，OA＝OB，BO＝BA三種情況考慮：①當(dāng)AB＝AO時，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出CB1的長度，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；②當(dāng)OA＝OB時，由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用勾股定理可求出OA的長度，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出OB2的長度，進(jìn)而可得出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；③當(dāng)BO＝BA時，設(shè)OB3＝m，則CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中利用勾股定理可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出點(diǎn)B3的坐標(biāo)．綜上，此題得解．

（1）∵點(diǎn)A（2，n）在雙曲線y＝上，

∴n＝＝4，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4）．

將A（2，4）代入y＝kx，得：4＝2k，

解得：k＝2．

（2）分三種情況考慮，過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，如圖所示．

①當(dāng)AB＝AO時，CO＝CB1＝4，

∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（0，8）；

②當(dāng)OA＝OB時，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），

∴OC＝4，AC＝2，

∴OA＝，

∴OB2＝2，

∴點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（0，2）；

③當(dāng)BO＝BA時，設(shè)OB3＝m，則CB3＝4﹣m，AB3＝m，

在Rt△ACB3中，AB32＝CB32+AC2，即m2＝（4﹣m）2+22，

解得：m＝，

∴點(diǎn)B3的坐標(biāo)為（0，）．

綜上所述：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8），（0，2），（0，）．