Question

（2013•荊門(mén)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-2mx+m²+m的圖象與關(guān)于x的函數(shù)y=kx+1的圖象交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；（x₁＜x₂）
（1）當(dāng)k=1，m=0，1時(shí)，求AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)k=1，m為任何值時(shí)，猜想AB的長(zhǎng)是否不變？并證明你的猜想．
（3）當(dāng)m=0，無(wú)論k為何值時(shí)，猜想△AOB的形狀．證明你的猜想．
（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式AB=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

）．

Answer 1

分析：（1）先將k=1，m=0分別代入，得出二次函數(shù)的解析式為y=x²，直線(xiàn)的解析式為y=x+1，聯(lián)立

y=x2 y=x+1

，得x²-x-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)C，證明△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得出AB=

2

AC，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式及完全平方公式求出AB=

10

；同理，當(dāng)k=1，m=1時(shí)，AB=

10

；
（2）當(dāng)k=1，m為任何值時(shí)，聯(lián)立

y=x2-2mx+m2+m y=x+1

，得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-1，同（1）可求出AB=

10

；
（3）當(dāng)m=0，k為任意常數(shù)時(shí)，分三種情況討論：①當(dāng)k=0時(shí)，由

y=x2 y=1

，得A（-1，1），B（1，1），顯然△AOB為直角三角形；②當(dāng)k=1時(shí)，聯(lián)立

y=x2 y=x+1

，得x²-x-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，同（1）求出AB=

10

，則AB²=10，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式及完全平方公式求出OA²+OB²=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形；③當(dāng)k為任意實(shí)數(shù)時(shí)，聯(lián)立

y=x2 y=kx+1

，得x²-kx-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²═k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形．

解答：解：（1）當(dāng)k=1，m=0時(shí)，如圖．
由

y=x2 y=x+1

得x²-x-1=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，
過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸、y軸的平行線(xiàn)，兩線(xiàn)交于點(diǎn)C．
∵直線(xiàn)AB的解析式為y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=

2

AC=

2

|x₂-x₁|=

2

(x2+x1)2-4x1x2

=

10

；
同理，當(dāng)k=1，m=1時(shí)，AB=

10

；

（2）猜想：當(dāng)k=1，m為任何值時(shí)，AB的長(zhǎng)不變，即AB=

10

．理由如下：
由

y=x2-2mx+m2+m y=x+1

，得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，
∴x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-1，
∴AB=

2

AC=

2

|x₂-x₁|=

2

( x   2 + x   1 )2-4 x   1 x

2

=

10

；

（3）當(dāng)m=0，k為任意常數(shù)時(shí)，△AOB為直角三角形，理由如下：
①當(dāng)k=0時(shí)，則函數(shù)的圖象為直線(xiàn)y=1，
由

y=x2 y=1

，得A（-1，1），B（1，1），
顯然△AOB為直角三角形；
②當(dāng)k=1時(shí)，則一次函數(shù)為直線(xiàn)y=x+1，
由

y=x2 y=x+1

，得x²-x-1=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，
∴AB=

2

AC=

2

|x₂-x₁|=

2

(x2+x1)2-4x1x2

=

10

，
∴AB²=10，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²
=x₁²+x₂²+（x₁+1）²+（x₂+1）²
=x₁²+x₂²+（x₁²+2x₁+1）+（x₂²+2x₂+1）
=2（x₁²+x₂²）+2（x₁+x₂）+2
=2（1+2）+2×1+2
=10，
∴AB²=OA²+OB²，
∴△AOB是直角三角形；
③當(dāng)k為任意實(shí)數(shù)，△AOB仍為直角三角形．
由

y=x2 y=kx+1

，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，
∴AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=（x₁-x₂）²+（kx₁-kx₂）²
=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（1+k²）（4+k²）
=k⁴+5k²+4，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²
=x₁²+x₂²+（kx₁+1）²+（kx₂+1）²
=x₁²+x₂²+（k²x₁²+2kx₁+1）+（k²x₂²+2kx₂+1）
=（1+k²）（x₁²+x₂²）+2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）+2k•k+2
=k⁴+5k²+4，
∴AB²=OA²+OB²，
∴△AOB為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定難度．本題對(duì)式子的變形能力要求較高，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想．