Question

【題目】如圖，直線y= x﹣4分別與x軸、y軸交于點A和點B，點C、D分別是線段OA、AB的中點，點P為OB上一動點，當PC+PD取最小值時點P的坐標是（ ）

A.（0，﹣1）
B.（0，﹣2）
C.（0，﹣3）
D.（0，﹣4）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：作點D關于y軸的對稱點D′，連接CD′交y軸于點P，此時PC+PD取最小值，如圖所示．

當x=0時，y= x﹣4=﹣4，

∴點B的坐標為（0，﹣4）；

當y= x﹣4=0時，x=6，

∴點A的坐標為（6，0）．

∵點C、D分別是線段OA、AB的中點，

∴點C的坐標為（3，0），點D的坐標為（3，﹣2）．

∵點D、D′關于y軸對稱，

∴點D′的坐標為（﹣3，﹣2）．

（方法一）設直線CD′的解析式為y=kx+b，

將C（3，0）、D′（﹣3，﹣2）代入y=kx+b，

，解得： ，

∴直線CD′的解析式為y= x﹣1．

當x=0時，y= x﹣1=﹣1，

∴點P的坐標為（0，﹣1）．

（方法二）∵點D、D′關于y軸對稱，

∴點P為線段CD′的中點，

∴點P的坐標為（0，﹣1）．

故選A．

【考點精析】關于本題考查的軸對稱-最短路線問題，需要了解已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能得出正確答案．