Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C為 (－1，0)．如圖17所示，B點(diǎn)在拋物線圖象上，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，且B點(diǎn)橫坐標(biāo)為－3．

（1）求證：△BDC≌△COA；

（2）求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3）存在，P1（， ）、P2（，）

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)，平角定義，直角三角形兩銳角的關(guān)系，可由AAS證得。

（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式。

（3）分點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)和點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)兩種情況討論即可。

解：（1）證明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，

∴∠BCD＝∠OAC。

∵△ABC為等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。

在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，

∴△BDC≌△COA（AAS）。

（2）∵C點(diǎn)坐標(biāo)為 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。

∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為－3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為 (－3，1)。

設(shè)BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，

∴，解得�！�BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x－。

（3）存在 。

∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2x－，∴對(duì)稱軸為直線x＝－。

若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P1，使CP1⊥AC，

∵BC⊥AC，∴點(diǎn)P1為直線BC與對(duì)軸稱直線x＝－的交點(diǎn)。

由題意可得：， 解得，。∴P1（－，－）。

若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P2，使AP2⊥AC，

則過點(diǎn)A作A P2∥BC，交對(duì)軸稱直線x＝－于點(diǎn)P2，

∵CD＝OA，∴A（0，2）。

設(shè)直線AP2的解析式為：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。

∴直線AP2的解析式為：y＝－x＋2。

由題意可得：，解得，�！�P2（－，）。

∴P點(diǎn)坐標(biāo)分別為P1（－，－）、P2（－，）。