Question

【題目】我們把能平分四邊形面積的直線(xiàn)稱(chēng)為“好線(xiàn)”．利用下面的作圖，可以得到四邊形的“好線(xiàn)”：在四邊形ABCD（圖2）中，取對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)O，連接OA、OC．得折線(xiàn)AOC，再過(guò)點(diǎn)O作OE∥AC交CD于E，則直線(xiàn)AE即為四邊形ABCD的一條“好線(xiàn)”．

（1）如圖（1），試說(shuō)明中線(xiàn)AD平分△ABC的面積；
（2）如圖（2），請(qǐng)你探究四邊形ABCO的面積和四邊形ABCD面積的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）解：在圖（2）中，請(qǐng)你說(shuō)明直線(xiàn)AE是四邊形ABCD的一條“好線(xiàn)”；
（4）如圖（3），若AE為一條“好線(xiàn)”，F(xiàn)為AD邊上的一點(diǎn)，請(qǐng)作出四邊形ABCD經(jīng)過(guò)F點(diǎn)的“好線(xiàn)”，并對(duì)你的畫(huà)圖作適當(dāng)說(shuō)明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，作AH⊥BC于H．

∵AD是中線(xiàn)，

∴BD=CD，

∴S△ABD= BDAH，S△ADC= DCAH，

∴S△ABD=S△ADC，

∴中線(xiàn)AD平分△ABC的面積．

（2）

解：結(jié)論：S四邊形ABCO= S四邊形ABCD．

如圖2中，

理由：由（1）知，S△AOB=S△AOD，S△BOC=S△DOC，

∴

∴S四邊形ABCO= S四邊形ABCD．

（3）

如圖2中，設(shè)AE交OC于F．

∵OE∥AC，

∴S△AOE=S△COE，

∴S△AOF=S△CEF，

又因?yàn)椋?）知，折線(xiàn)AOC能平分四邊形ABCD的面積，

∴直線(xiàn)AE平分四邊形ABCD的面積，即AE是四邊形ABCD的一條“好線(xiàn)”．

（4）

解：連接EF，過(guò)A作EF的平行線(xiàn)交CD于點(diǎn)G，連接FG，則GF為一條“好線(xiàn)”．

∵AG∥EF，

∴S△AGE=S△AFG．

設(shè)AE與FG的交點(diǎn)是O．則S△AOF=S△GOE，

又AE為一條“好線(xiàn)”，所以GF為一條“好線(xiàn)”．

【解析】（1）如圖1中，作AH⊥BC于H．由S△ABD= BDAH，S△ADC= DCAH，因?yàn)锽D=CD，所以S△ABD=S△ADC；（2）利用（1）中結(jié)論可以證明S四邊形ABCO= S四邊形ABCD；（3）設(shè)AE交OC于F．由OE∥AC，推出S△AOE=S△COE ， 推出S△AOF=S△CEF ， 又因?yàn)椋?）知，折線(xiàn)AOC能平分四邊形ABCD的面積，即可推出直線(xiàn)AE平分四邊形ABCD的面積；（4）連接EF，過(guò)A作EF的平行線(xiàn)交CD于點(diǎn)G，連接FG，則GF為一條“好線(xiàn)”．由AG∥EF，推出S△AGE=S△AFG ． 設(shè)AE與FG的交點(diǎn)是O．則S△AOF=S△GOE ， 又AE為一條“好線(xiàn)”，所以GF為一條“好線(xiàn)”；