Question

19．如圖，正方形ABCD的邊長是2，M是AD的中點，E是AB邊上的一動點．連接EM并延長交射線CD于點F，過M作EF的垂線交射線BC于點G，連結(jié)EG，F(xiàn)G．
（1）求證：ME=MF；
（2）當AE=a（a為常數(shù)）時，求△EGF的面積．

Answer 1

分析 （1）四邊形ABCD是正方形，正方形的四個邊相等且對邊平行，四個角都是直角，很容易證明△AME≌△DMF，從而可得出結(jié)論．
（2）設(shè)AE=a時，△EGF的面積為S_△EGF，有兩種情況，當點E與點A重合時，即x=0時，可求出S_△EGF的值，當點E不與點A重合時，0＜a≤2，根據(jù)條件可證明Rt△AEM∽Rt△NGM，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得出函數(shù)式．

解答 解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=∠MDF，
在△AME和△DMF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠FMD}\\{AM=DM}\\{∠A=∠MDF}\end{array}\right.$
∴△AME≌△DMF
∴EM=FM；

（2）解：當點E與點A重合時，如圖，

a=0，S_△EGF=$\frac{1}{2}$AD×MG=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
當點E不與點A重合時，0＜a≤2，
∵EM=FM
在Rt△AME中，AE=a，AM=1，ME=$\sqrt{{a}^{2}+1}$$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
∴EF=2ME=2$\sqrt{{a}^{2}+1}$
如圖，

過M作MN⊥BC，垂足為N
則∠MNG=90°∠AMN=90°MN=AB=AD=2AM
∴∠AME+∠EMN=90°
∵EMG=90°
∴∠GMN+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN
∴Rt△AEM∽Rt△NGM，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{ME}{MG}$
∴MG=2ME=2$\sqrt{{a}^{2}+1}$
∴S_△EGF=$\frac{1}{2}$EF×MG=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{{a}^{2}+1}$×2$\sqrt{{a}^{2}+1}$=2a²+2．
∴S_△EGF=2a²+2其中0＜a≤2，

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)定理，以及全等三角形的判定正方形的性質(zhì)等．