【題目】如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)P到點(diǎn)A、B和D的距離分別為1,,,△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′,連結(jié)PP′,并延長(zhǎng)AP與BC相交于點(diǎn)Q.
(1)求證:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ的大;
(3)求CQ的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)45°;(3).
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,△APD≌△AP′B,所以AP=AP′,∠PAD=∠P′AB,因?yàn)?/span>∠PAD+∠PAB=90°,所以∠P′AB+∠PAB=90°,即∠PAP′=90°,故△APP′是等腰直角三角形;
(2)根據(jù)勾股定理逆定理可判斷△PP′B是直角三角形,再根據(jù)平角定義求出結(jié)果;
(3)作BE⊥AQ,垂足為E,由∠BPQ=45°,P′B=,求出PE=BE=2,在Rt△ABE中,運(yùn)用勾股定理求出AB,再由cos∠EAB=cos∠EBQ,求出BQ,則CQ=BC﹣BQ.
解:(1)∵△ADP沿點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至△ABP′,
∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,△APD≌△AP′B,
∴AP=AP′,∠PAD=∠P′AB,
∵∠PAD+∠PAB=90°,
∴∠P′AB+∠PAB=90°,
即∠PAP′=90°,
∴△APP′是等腰直角三角形;
(2)由(1)知∠PAP′=90°,AP=AP′=1,
∴PP′=,
∵P′B=PD=,PB=,
∴,
∴∠P′PB=90°,
∵△APP′是等腰直角三角形,
∴∠APP′=45°,
∴∠BPQ=180°﹣90°﹣45°=45°;
(3)作BE⊥AQ,垂足為E,
∵∠BPQ=45°,PB=,
∴PE=BE=2,
∴AE=2+1=3,
∴AB==,BE==2,
∵∠EBQ=∠EAB,cos∠EAB=,
∴cos∠EBQ==,
∴,
∴BQ=,
∴CQ==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為迎接邊境貿(mào)易博覽會(huì),組織部門決定利用現(xiàn)有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A、B兩種園藝造型共50個(gè)擺放在迎賓大道兩側(cè),已知搭配一個(gè)A種造型需甲種花卉80盆,乙種花卉40盆,搭配一個(gè)B種造型需甲種花卉50盆,乙種花卉90盆.
(1)某校九年級(jí)(1)班課外活動(dòng)小組承接了這個(gè)園藝造型搭配方案的設(shè)計(jì),問(wèn)符合題意的搭配方案有幾種?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來(lái).
(2)若搭配一個(gè)A種造型的成本是800元,搭配一個(gè)B種造型的成本是960元,試說(shuō)明(1)中哪種方案成本最低?最低成本是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了調(diào)查本校初2021級(jí)學(xué)生的跳繩水平,抽取了某班60名學(xué)生的跳繩成績(jī)(滿分為10分,分?jǐn)?shù)均為自然數(shù)),繪制如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的信息,回答下列問(wèn)題.
(1)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,的值是 ,成績(jī)?yōu)?/span>10分所在扇形的圓心角是 度;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若從該班男生中隨機(jī)抽取一人,求這名男生跳繩成績(jī)不是10分的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中表示下面各點(diǎn):A(0,3);B(1,-3);C(3,-5);D(-3,-5);E(3,5);F(5,7).
①B點(diǎn)到x軸的距離是 ,到y軸的距離是 .
②將點(diǎn)C向x軸的負(fù)方向平移 個(gè)單位,它就與點(diǎn)D重合.
③連接CE,則直線CE與y軸是 關(guān)系.
(2)一個(gè)正方形的面積是15,若它的邊長(zhǎng)的整數(shù)部分為,小數(shù)部分為,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,三點(diǎn),其中a= ,b,c滿足關(guān)系式,P是第二象限內(nèi)一點(diǎn),連接PO,且P、A、C三點(diǎn)在一條直線上.
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若規(guī)定:在三角形中,若兩條邊相等,則這兩條邊與第三邊的夾角相等。如在△DEF中,DE=DF,則∠E=∠F.在本圖中若PA=PO,AB=AC,CB⊥OB,垂足為B.求證:AB∥PO.
(3)如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P(-2,),求四邊形POBC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,AB=8,AD=CD=5,點(diǎn)M為BC上異于B、C的一定點(diǎn),點(diǎn)N為AB上的一動(dòng)點(diǎn),E、F分別為DM、MN的中點(diǎn),當(dāng)N從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段EF掃過(guò)圖形的面積為 ( )
A.4B.4.5C.5D.6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,邊長(zhǎng)為6,D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),∠EDF=60°.
(1)求證:△BDE∽△CFD;
(2)當(dāng)BD=1,CF=3時(shí),求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】六一期間,某公園游戲場(chǎng)舉行“迎奧運(yùn)”活動(dòng).有一種游戲的規(guī)則是:在一個(gè)裝有個(gè)紅球和若干個(gè)白球(每個(gè)球除顏色外其他相同)的袋中,隨機(jī)摸一個(gè)球,摸到一個(gè)紅球就得到一個(gè)奧運(yùn)福娃玩具.已知參加這種游戲活動(dòng)為人次,公園游戲場(chǎng)發(fā)放的福娃玩具為個(gè).
求參加一次這種游戲活動(dòng)得到福娃玩具的概率;
請(qǐng)你估計(jì)袋中白球接近多少個(gè)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程.
(1)求證:方程總有實(shí)數(shù)根.
(2)設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為,,且,求的值.
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