Question

【題目】如圖,已知拋物線經過點,,三點,點與點關于軸對稱,點是線段上的一個動點,設點的坐標為,過點作軸的垂線交拋物線于點,交直線于點.

(1)求該拋物線所表示的二次函數的表達式;

(2)在點運動過程中,是否存在點,使得以為直徑的圓與軸相切?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由;

(3)連接,將繞平面內某點順時針旋轉,得到,點、、的對應點分別是點、、.若的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點為“和諧點”, 那么我們就稱這樣的點為“和諧點”，請直接寫出“和諧點”的個數和點A1的橫坐標.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)2個；A1橫坐標為1或.

【解析】

（1）把點A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求解；

（2）先求出BD直線解析式，根據題意得到2OP=QM=直徑d即可求解；

（3）兩個和諧點；AO＝1，OC＝2，設A1（x，y），則C1（x＋2，y1），O1（x，y1），①當A1、C1在拋物線上時，②當O1、C1在拋物線上分別代入求解.

（1）設拋物線解析式為y＝ax2＋bx＋c，

將點A（1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，

∴，

解得，

∴；

（2）∵點C與點D關于x軸對稱，

∴D（0，2）．

設直線BD的解析式為y＝kx2．

∵將（4，0）代入得：4k2＝0，

∴k＝．

∴直線BD的解析式為y＝x2．

當點,使得以為直徑的圓與軸相切，

∴2OP=QM= d

∵P

∴Q（m,）,M(m, m2)

故2m=（）-（m2）

解得m=2或m=-4,

∵點在線段上，故m=-4不符合題意，

故m=2；

（3）兩個和諧點；

∵AO＝1，OC＝2，

設A1（x，y），則C1（x＋2，y1），O1（x，y1），

∴①當A1、C1在拋物線上時，

∴

∴，

∴A1的橫坐標是1；

②當O1、C1在拋物線上時，

，

∴

∴A1的橫坐標是.