Question

【題目】綜合與實踐 美妙的黃金矩形

閱讀理解

在數(shù)學上稱短邊與長邊的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形（GoldenRectangle），黃金矩形蘊藏著豐富的美學價值，給我們以協(xié)調、勻稱的美感．

（1）某校團委舉辦“五四手抄報比賽”，手抄報規(guī)格統(tǒng)一設計成：長是40cm的黃金矩形，則寬約為__________cm；（精確到0.1cm）

操作發(fā)現(xiàn) 利用一張正方形紙片折疊出一個黃金矩形．

第一步，如圖1，折疊正方形紙片ABCD，使AB和DC重合，得到折痕EF（點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上），然后把紙片展平．

第二步，如圖2，折疊正方形紙片ABCD，使得BC落在BE上，點C′和點C對應，得到折痕BG（點G在CD上），再次紙片展平．

第三步，如圖3，沿過點G的直線折疊正方形紙片ABCD，使點A和點D分別落在AB和CD上，折痕為HG，顯然四邊形HBCG為矩形．

（2）在上述操作中，以AB=2為例，證明矩形HBCG是黃金矩形．

（參考計算： =）

拓廣探索

（3）“希望小組”的同學通過探究發(fā)現(xiàn)：以黃金矩形的長邊為一邊，在原黃金矩形外作正方形，得到的新矩形仍然是黃金矩形．

如圖4，如果四邊形ABCD是黃金矩形（AB＞AD），四邊形DCEF是正方形，那么四邊形ABEF也是黃金矩形，他們的發(fā)現(xiàn)正確嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）24.7；（2）證明見解析；（3）四邊形ABEF是黃金矩形這個結論正確.

【解析】

（1）根據黃金矩形的定義計算即可；

（2）如圖2中，連接EG，設CG=C′G=x．由題意 在Rt△EGD和Rt△EGC′中， 解得可得，由此即可證明；

（3）如圖4中，四邊形ABEF是黃金矩形這個結論正確；設AB=a，則AD=BC=a，求出AB：BE的值即可判斷；

解：（1）寬約為40×≈40×0.681≈24.7cm．

故答案為24.7．

（2）如圖2中，連接EG，設CG=C′G=x．

∵AB=2，AE=ED=1，

∴

在Rt△EGD和Rt△EGC′中，

解得

∴

∴圖3中的矩形HBCG是黃金矩形；

（3）如圖4中，四邊形ABEF是黃金矩形這個結論正確；

理由：設AB=a，則AD=BC=a，

∵四邊形DCEF是正方形．

∴DC=DF=EF=CE=a，

∴

∴

∴矩形ABEF是黃金矩形．