Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)（a、b都是常數(shù)，且a<0）的圖像與x軸交于點(diǎn)、，頂點(diǎn)為點(diǎn)C.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)B的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)BC，求∠CBD的余切值；

（3）點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PBA=∠CBD時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）或

【解析】

（1）由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式，再利用配發(fā)法即可求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，由點(diǎn)B，C，D，F的坐標(biāo)可得出CD，DF，BF的長，利用勾股定理可得出BC的長，利用角的正切值不變可求出DE的長，進(jìn)而可求出BE的長，再利用余切的定義即可求出∠CBD的余切值；

（3）設(shè)直線PB與y軸交于點(diǎn)M，由∠PBA=∠CBD及∠CBD的余切值可求出OM的長，進(jìn)而可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由點(diǎn)B，M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BP的解析式，聯(lián)立直線BP及二次函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）將A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+6，得： ，

解得：，

∴二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+6，

∵y=-x2+2x+6=-（x-2）2+8，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，8）；、

（2）當(dāng)x=2時(shí)，y=-x+3=2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2），

過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，如圖1所示．

∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），

∴CF=8，CD=6，DF=2，BF=4，BC==4，BD==2，

∴sin∠BCF==，即=，

∴DE=，

∴BE==，

∴cot∠CBD===；

（3）設(shè)直線PB與y軸交于點(diǎn)M，如圖2所示．

∵∠PBA=∠CBD，

∴cot∠PBA=，即，

∴OM=，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）或（0，-），

設(shè)直線BP的解析式為y=mx+n（m≠0），

將B（6，0），M（0，）代入y=mx+n，得：，

解得：，

∴直線BP的解析式為y=-x+，

同理，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-）時(shí)，直線BP的解析式為y=-x+，

聯(lián)立直線BP與拋物線的解析式成方程組，得：或，

解得：，或，，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，）或（-，-）．