Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；過點(diǎn)P作PD∥AB，交AC于點(diǎn)D，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜2.5），解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ADPQ為平行四邊形？
（2）設(shè)四邊形ADPQ的面積為y（cm2），試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使S四邊形ADPQ：S△PQB=13：2？若存在，請(qǐng)說明理由，若存在，求出t的值，并求出此時(shí)PQ的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，

∴AB= =5cm，

∵PD∥AB，

∴當(dāng)PQ∥AC時(shí)，四邊形ADPQ是平行四邊形，

∴ = ，即 = ，

解得，t= ，

答：當(dāng)t= 時(shí)，四邊形ADPQ為平行四邊形

（2）

解：過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為E，

∵∠PEB=∠C=90°，

∠B=∠B，

∴△BPE∽△BCA，

∴ = ，即 = ，

解得，PE= t，

∵PD∥AB，

∴∠DPC=∠B，

∠C=∠C，

∴△CPD∽△CBA，

∴ = ，即 = ，

解得，PD= ，

∴y=S四邊形ADPQ= ×（PD+AQ）×PE

= ×（ +2t）× t

= t2+ t

（3）

解：若存在某一時(shí)刻，使S四邊形ADPQ：S△PQB=13：2，

則y= S△PQB

∵S△PQB= QB×PE=﹣ t2+ t，

∴ t2+ t= （﹣ t2+ t），

解得，t1=0（舍去），t2=2，

則t為2s時(shí)，S四邊形ADPQA：S△PQB=13：2，

當(dāng)t=2時(shí)，BP=2，BQ=5﹣4=1，

作QH⊥BC于H，

則QH= ，BH= ，

∴PH= ，

則PQ= = ．

【解析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ∥AC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)P作PE⊥AB，證明△BPE∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PE、PD，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程求出t，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形．