Question

小明喜歡研究問題，他將一把三角板的直角頂點(diǎn)放在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，兩條直角邊與拋物線y=ax²（a＜0）交于A、B兩點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)OA=OB=2時(shí)，則a=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性以及等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式，計(jì)算即可求出a的值；
（2）根據(jù)OC=1可知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，再根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，從而得到BC的長(zhǎng)度，再過點(diǎn)A作推出AD⊥x軸于點(diǎn)D，然后推出△DAO與△COB相似，然后設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)并表示出OD、AD的長(zhǎng)度，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)二次函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（m，-m²）、B（n，-n²），根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出mn=2，再利用待定系數(shù)法列式求出直線AB的解析式，根據(jù)解析式的常數(shù)項(xiàng)是常數(shù)-即可得解．
解答：解：（1）∵OA=OB=2，
∴等腰Rt△AOB關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-，-），
∴a（-）²=-，
解得a=-；

（2）由（1）可知拋物線的解析式為y=-x²，
∵OC=1，
∴y_B=-，
∴B（1，-），
過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，又BC⊥x軸于點(diǎn)C，
∴∠ADO=∠BCO=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵AO⊥OB，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△DAO∽△COB，
∴=，
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（x，-x²），則OD=-x，AD=-x²，
∴=，
解得x=-2，
∴y_A=-2，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，-2）；

（3）定點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-）．
理由如下：根據(jù)（1）的結(jié)論，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（m，-m²）、B（n，-n²），
根據(jù)（2）△DAO∽△COB，
∴=，
即=，
整理得，mn=-2，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴b=-2×=-，
∴三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)，直線AB的傾斜發(fā)生變化，但總是與y軸相交于點(diǎn)（0，-），
即線段AB總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（0，-）．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，有等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變化，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，綜合性較強(qiáng)，難度較大．