【題目】如圖1,已知點E在正方形ABCD的邊BC上,若AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點F.

(1)圖1中若點E是邊BC的中點,我們可以構(gòu)造兩個三角形全等來證明AE=EF,請敘述你的一個構(gòu)造方案,并指出是哪兩個三角形全等(不要求證明);

(2)如圖2,若點E在線段BC上滑動(不與點B,C重合).

①AE=EF是否總成立?請給出證明;

②在圖2的AB邊上是否存在一點M,使得四邊形DMEF是平行四邊形?若存在,請給予證明;若不存在,請說明理由.

【答案】見解析

【解析】(1)解:如圖1,取AB的中點G,連接EG,

AGE與ECF全等;

(2)①若點E在線段BC上滑動時,AE=EF總成立.

證明:如圖2,在AB上截取AH=EC,連接EH,

AB=BC,

BH=BE,

∴△HBE是等腰直角三角形,

∴∠AHE=180°﹣45°=135°,

CF平分正方形的外角,

∴∠ECF=135°,

∴∠AHE=ECF.

BAE+AEB=CEF+AEB=90°,

∴∠BAE=CEF,

∴△AHE≌△ECF,

AE=EF;

②答:存在,如圖3,

過D作DMAE交AB于點M,

則有:DMEF,連接ME、DF,

ADM與BAE中,,

∴△ADM≌△BAE(AAS),

MD=AE,

AE=EF,

MD=EF,

MDEF,

四邊形DMEP為平行四邊形.

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