Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，點(diǎn)G是△ABC的重心，AG的延長線交邊BC于點(diǎn)D.過點(diǎn)G的直線分別交邊AB于點(diǎn)P、交射線AC于點(diǎn)Q.

（1）求AG的長；

（2）當(dāng)∠APQ=90º時(shí)，直線PG與邊BC相交于點(diǎn)M.求的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，設(shè)BP=，AQ=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域.[

 

 

Answer 1

(1)AG=8；（2）=；(3).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知條件和重心的性質(zhì)得出BD=DC=BC，AD⊥BC，再根據(jù)sinB=，求出AB、BC、AD的值，從而求出AG的長；

（2）根據(jù)∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°，得出∠MGD=∠B，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出DM、CM=CD-DM的值，在△ABC中，根據(jù)AA求出△QCM∽△QGA，即可求出的值；

（3）過點(diǎn)B作BE∥AD，過點(diǎn)C作CF∥AD，分別交直線PQ于點(diǎn)E、F，則BE∥AD∥CF，得出，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根據(jù)BD=CD，求出EG=FG，即可得出CE+BE=2GD，從而得出求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并得出它的定義域．

試題解析：

（1）在△ABC中，∵AB=AC，點(diǎn)G是△ABC的重心,

∴，AD⊥BC.

在Rt△ADB中，∵,∴.

∵, ∴AB=15，BC=18.

∴AD=12.

∵G是△ABC的重心，∴.

（2）在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°，

同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,

∴∠MGD=∠B.

∴,

在Rt△MDG中,∵，

∴，∴

在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC,∴.

∵,

又∵,

∴,

又∵,

∴△QCM∽△QGA.

∴.

（3）過點(diǎn)作,過點(diǎn)作,分別交直線于點(diǎn)E、F，則.

∵,∴,即,

∴

同理可得:,即,

∴.

∵, ,∴.

∴,即.

∴,.

考點(diǎn)：相似形綜合題．