Question

【題目】如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，8），并且經(jīng)過(guò)A（8，0），點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作直線y=8的垂線，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)D，E的坐標(biāo)分別為（0，6），（4，0），連接PD，PE，DE．

（1）求拋物線的解析式；
（2）猜想并探究：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PD與PF的差是否為固定值？如果是，請(qǐng)求出此定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求：①當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P坐標(biāo)；②使△PDE的面積為整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+8．

∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，0），

∴64a+8=0，解得a=﹣ ．

拋物線的解析式為：y=﹣ x2+8

（2）解：PD與PF的差是定值．

理由如下：設(shè)P（a，﹣ a2+8），則F（a，8），

∵D（0，6），

∴PD= = = a2+2，PF=8﹣（ ）= ．

∴PD﹣PF=2．

（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，DE大小不變，則PE與PD的和最小時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最小，

∵PD﹣PF=2，

∴PD=PF+2，

∴PE+PD=PE+PF+2，

∴當(dāng)P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最小，此時(shí)點(diǎn)P，E的橫坐標(biāo)都為4，

∵將x=4代入y=﹣ x2+8，得y=6，

∴P（4，6），此時(shí)△PDE的周長(zhǎng)最�。�

②如圖1所示：過(guò)點(diǎn)P做PH⊥x軸，垂足為H．

設(shè)P（a，﹣ a2+8）

∴PH=﹣ a2+8，EH=a﹣4，OH=a

S△DPE=S梯形PHOD﹣S△PHE﹣S△DOE= a（﹣ a2+8+6）﹣ （ +8）（a﹣4）﹣ ×4×6=﹣ a2+3a+4=﹣ （a﹣6）2+13．

∵點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），

∴0≤a≤8，

∴當(dāng)a=6時(shí)，S△DPE取最大值為13．當(dāng)a=0時(shí)，S△DPE取最小值為4．即4≤S△DPE≤13，其中，當(dāng)S△DPE=12時(shí)，有兩個(gè)點(diǎn)P．

∴共有11個(gè)令S△DPE為整數(shù)的點(diǎn)．

【解析】（1）此拋物線的頂點(diǎn)在y軸上，因此設(shè)此拋物線解析式為y=ax2+k，將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別代入，就可求出函數(shù)解析式。
（2）抓住PF⊥直線y=8，設(shè)出點(diǎn)P、點(diǎn)F的坐標(biāo)，用含a的代數(shù)式分別表示出PD、PF的長(zhǎng)，再求出它們的差即可。
（3）①要使△PDE的周長(zhǎng)最小，而DE的長(zhǎng)是一個(gè)定值，關(guān)鍵是DP+PE的值要最小，由（2）可知PD=PF+2，即PE+PD=PE+PF+2，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，P、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF最小，此時(shí)點(diǎn)P，E的橫坐標(biāo)都為4，代入函數(shù)解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。②過(guò)點(diǎn)P做PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出PH、EH、的長(zhǎng)，再求出S△DPE與a的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A，C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），求出a的取值范圍，繼而求出S△DPE的取值范圍，即可求出結(jié)果。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的最值和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．