Question

已知△ABC的周長(zhǎng)為1，連接其三邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，以此類推，則第2012個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（　　）

• A．

  1

  2011

• B．

  1

  2012

• C．

  1

  22011

• D．

  1

  22012

Answer 1

分析：根據(jù)已知條件，首先可知各三角形都相似，然后根據(jù)題意可得規(guī)律：第n個(gè)三角形與原三角形的相似比為1：2^n-1，又由△ABC周長(zhǎng)為1，即可求得第2012個(gè)三角形的周長(zhǎng)．

解答：解：∵連接△ABC三邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，
∴新三角形的三邊與原三角形的三邊的比值為1：2，
∴它們相似，且相似比為1：2，
同理：第三個(gè)三角形與第二個(gè)三角形的相似比為1：2，
即第三個(gè)三角形與第一個(gè)三角形的相似比為：1：2²，
以此類推：第2012個(gè)三角形與原三角形的相似比為1：2²⁰¹¹，
∵△ABC周長(zhǎng)為1，
∴第2012個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 1：2²⁰¹¹．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律：第n個(gè)三角形與原三角形的相似比為1：2^n-1．