Question

（2012•吳中區(qū)二模）已知一個(gè)直角三角形AOB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D．

（1）如圖1，若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（1，2）

；
（2）如圖2，若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）如圖3，若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，設(shè)OB′=x，OC=y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）由CD為△OAB的中位線，可求D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)OC=m，由折疊的性質(zhì)可知，△ACD≌△BCD，則BC=AC=4-m，OA=2，在Rt△AOC中，利用勾股定理求m的值；
（3）由折疊的性質(zhì)可知，△B′CD≌△BCD，依題意設(shè)OB′=x，OC=y，則B′C=BC=OB-OC=4-y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，建立y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）由折疊的性質(zhì) 可知，BC=OC，CD⊥OB，
則CD為△OAB的中位線，所以D（1，2），
故答案為：（1，2）；

（2）如圖2，折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，則△ACD≌△BCD，
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），則BC=OB-OC=4-m，于是AC=BC=4-m，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC²=OC²+OA²，即（4-m）²=m²+2²，
解得m=

3

2

，所以C（0，

3

2

）；

（3）如圖3，折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，則△B′CD≌△BCD，
依題意設(shè)OB′=x，OC=y，則B′C=BC=OB-OC=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C²=OC²+OB′²，即（4-y）²=y²+x²，即y=-

1

8

x²+2，
由點(diǎn)B′在邊OA上，有0≤x≤2，
所以，函數(shù)解析式為y=-

1

8

x²+2（0≤x≤2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由折疊的性質(zhì)得出全等三角形，在直角三角形中，利用勾股定理建立等式，解方程或得出函數(shù)關(guān)系式．