Question

4．已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P，Q分別從B，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；
點(diǎn)Q沿CA，AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s），
（1）如圖（1），當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥AB；
（2）如圖（2），若PQ⊥AC，求x；
（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與△ABC的高AD交于點(diǎn)O，OQ與OP是否總是相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先得出△PQC為等邊三角形，進(jìn)而表示出PC=4-x，CQ=2x，由4-x=2x，求出答案；
（2）根據(jù)題意得出CQ=$\frac{1}{2}$PC，即2x=$\frac{1}{2}$（4-x），求出即可；
（3）根據(jù)題意得出QH=DP，進(jìn)而判斷出△OQH≌△OPD（AAS），即可得出答案．

解答 解：（1）∵∠C=60°，
∴當(dāng)PC=CQ時(shí)，△PQC為等邊三角形，
于是∠QPC=60°=∠B，
從而PQ∥AB，
∵PC=4-x，CQ=2x，
由4-x=2x，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴當(dāng)x=$\frac{4}{3}$時(shí)，PQ∥AB；

（2）∵PQ⊥AC，∠C=60°，
∴∠QPC=30°，
∴CQ=$\frac{1}{2}$PC，
即2x=$\frac{1}{2}$（4-x），
解得：x=$\frac{4}{5}$；

（3）OQ=PO，理由如下：
作QH⊥AD于H，如圖（3），
∵AD⊥BC，
∴∠QAH=30°，BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴QH=$\frac{1}{2}$AQ=$\frac{1}{2}$（2x-4）=x-2，
∵DP=BP-BD=x-2，
∴QH=DP，
在△OQH和△OPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QOH=∠POD}\\{∠QHO=∠PDO}\\{QH=PD}\end{array}\right.$，
∴△OQH≌△OPD（AAS），
∴OQ=OP．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．