Question

附加題．已知函數(shù)y=

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x+2的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，問：在x軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABP為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：存在點(diǎn)P使得△ABP為等腰三角形，點(diǎn)P在AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)上，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AP=BP，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式算出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可得AO=2

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，BO=2，設(shè)OP=x，則AP=BP=2

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-x，在Rt△POB中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出P點(diǎn)坐標(biāo)，再分別以A、B為圓心AB長為半徑畫圓，與x軸交點(diǎn)也是所求的P點(diǎn)．

解答：解：存在點(diǎn)P使得△ABP為等腰三角形，點(diǎn)P在AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)上；
如圖所示：
∵函數(shù)y=

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x+2的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴A（-2

3

，0），B（0，2），
∴AO=2

3

，BO=2，
設(shè)OP=x，
∵點(diǎn)P在AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)上
∴AP=BP=2

3

-x，
在Rt△POB中，BO²+PO²=BP²，
2²+x²=（2

3

-x）²，
解得：x=

2 3

3

，
∴P（-

2 3

3

，0）．
當(dāng)以A為圓心AB長為半徑畫圓，
∵AO=2

3

，BO=2，
∴AB=

(2 3 )2+22

=4，
則P₁（4-2

3

，0），P₂（-4-2

3

，0），
當(dāng)以B為圓心AB長為半徑畫圓，
P₃（2

3

，0）．
綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-

2 3

3

，0），P₁（4-2

3

，0），P₂（-4-2

3

，0），P₃（2

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷出P點(diǎn)在AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)上．