Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為M的拋物線C1：y＝ax2+bx（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)A和x軸上的點(diǎn)B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）聯(lián)結(jié)AM，求S△AOM；

（3）將拋物線C1向上平移得到拋物線C2，拋物線C2與x軸分別交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），如果△MBF與△AOM相似，求所有符合條件的拋物線C2的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）S△AOM＝；（3）y＝；y＝．

【解析】

（1）根據(jù)題意，可以寫出點(diǎn)B和點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而可以得到該拋物線的表達(dá)式；

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可以求得直線AM的函數(shù)解析式，從而可以求得S△AOM；

（3）根據(jù)題意，利用分類討論的方法和三角形相似的知識可以求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而可以求得拋物線C2的表達(dá)式．

（1）∵拋物線C1：y＝ax2+bx（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)A和x軸上的點(diǎn)B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°，

∴點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)A（﹣1，﹣），

∴，

得，

∴該拋物線的解析式為y＝；

（2）連接MO，AM，AM與y軸交于點(diǎn)D，

∵y＝＝，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，），

設(shè)過點(diǎn)A（﹣1，﹣），M（1，）的直線解析式為y＝mx+n，

，得，

∴直線AM的函數(shù)解析式為y＝x﹣，

當(dāng)x＝0時，y＝﹣，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣），

∴OD＝，

∴S△AOM＝S△AOD+S△MOD＝；

（3）當(dāng)△AOM∽△FBM時，，

∵OA＝2，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)M（1，），點(diǎn)B（2，0），

∴OM＝，BM＝，

∴，

解得，BF＝2，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0），

設(shè)拋物線C2的函數(shù)解析式為：y＝+c，

∵點(diǎn)F（4，0）在拋物線C2上，

∴0＝+c，得c＝，

∴拋物線C2的函數(shù)解析式為：y＝+；

當(dāng)△AOM∽△MBF時，

，

∵OA＝2，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)M（1，），點(diǎn)B（2，0），

∴OM＝，BM＝，

∴，

解得，BF＝，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0），

設(shè)拋物線C2的函數(shù)解析式為：y＝+d，

∵點(diǎn)F（，0）在拋物線C2上，

∴0＝，得d＝，

∴拋物線C2的函數(shù)解析式為：y＝+．