Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，點P，Q分別在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ繞點P旋轉(zhuǎn)，得到△PDE，點D落在線段PQ上．

（1）求證：PQ∥AB；

（2）若點D在∠BAC的平分線上，求CP的長；

（3）若△PDE與△ABC重疊部分圖形的周長為T，且12≤T≤16，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）6；（3）1≤x≤．

【解析】

試題分析：（1）先由勾股定理求出AC的長，再由相似三角形的判定定理得出△PQC∽△BAC，得出∠CPQ=∠B，由此可得出結(jié)論；

（2）連接AD，由PQ∥AB可得∠ADQ=∠DAB，再由點D在∠BAC的平分線上，得到∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根據(jù)勾股定理可知，AQ=12﹣4x，故可得出x的值，進而得出結(jié)論；

（3）當點E在AB上時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出x的值，再分0＜x≤；＜x＜3兩種情況進行分類討論．

試題解析：（1）∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，∴AC===12．∵，，∴．∵∠C=∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ=∠B，∴PQ∥AB；

（2）連接AD，∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB，∵點D在∠BAC的平分線上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ，∴AQ=DQ，在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，∴DQ=2x．∵AQ=12﹣4x，∴12﹣4x=2x，解得x=2，∴CP=3x=6；

（3）當點E在AB上時，∵PQ∥AB，∴∠DPE=∠PEB．∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，∴∠B=∠PEB，∴PB=PE=5x，∴3x+5x=9，解得x=．

①當0＜x≤時，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此時0＜T≤；

②當＜x＜3時，設PE交AB于點G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足為H，∴HG=DF，F(xiàn)G=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，∴，∵PG=PB=9﹣3x，∴，∴GH=（9﹣3x），PH=（9﹣3x），∴FG=DH=3x﹣（9﹣3x），∴T=PG+PD+DF+FG=（9﹣3x）+3x+（9﹣3x）+[3x﹣（9﹣3x）]=，此時，＜T＜18．∴當0＜x＜3時，T隨x的增大而增大，∴T=12時，即12x=12，解得x=1；TA=16時，即=16，解得x=．∵12≤T≤16，∴x的取值范圍是1≤x≤．