Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，0）和B（x₂，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．如果x₁、x₂是方程x²-x-6=0的兩個(gè)根（x₁＜x₂），且△ABC的面積為

15

2

．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求直線AC和BC的方程；
（3）如果P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過點(diǎn)P作直線y=m（m為常數(shù)），與直線BC交于點(diǎn)Q，則在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知A，B的坐標(biāo)，易求出三角形ABC的面積以及點(diǎn)C的坐標(biāo)．易求解析式．
（2）已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，易求AC，BC的方程式．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)R，直線y=m與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E．證明點(diǎn)P不與點(diǎn)O，C重合，證明△CPQ∽△CAB后解得P，Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）A（-2，O），B（3，0），
S_△ABC=

15

2

，
∴c=3，C（0，3）．
∴拋物線的解析式是y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．

（2）由（1）可知，直線AC的方程為y=

3x

2

+3，直線BC的方程為y=-x+3．

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)R，并設(shè)直線y=m與y軸的交點(diǎn)為E（0，m），
由（1），知AB=5，OC=3．
點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合，
∴點(diǎn)E（0，m）不與點(diǎn)O、C重合．
∴0＜m＜3．
由于PQ為等腰直角三角形加PQR的一腰，
過點(diǎn)P作PR₁⊥x軸于點(diǎn)R₁，則∠R1PQ=90°，PQ=PR₁=m．
即（3-m）-

2m-6

3

=m，
解得m=

15

8

．
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
點(diǎn)P在直線AC上，
解得x_P=-

3

4

，P（-

3

4

，

15

8

）．
∴點(diǎn)R₁（-

3

4

，0）．
過點(diǎn)Q作QR₂⊥x軸于R₂，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴點(diǎn)R₂（

9

8

，0）．驗(yàn)證成立，
當(dāng)∠PRQ=90°時(shí)，PQ=2m，即（3-m）-

2m-6

3

=2m，
解得m=

15

11

，此時(shí)R的橫坐標(biāo)為

1

2

[（3-m）+

2m-6

3

]=

3

11

，
∴R₁（-

3

4

，0）、R₂（

9

8

，0）、R₃（

3

11

，0）是滿足條件的點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，要利用大量的輔助線的幫助，難度較大．