【題目】如圖a,P、Q是△ABC的邊BC上的兩點,且△APQ為等邊三角形,AB=AC,
(1)求證:BP=CQ.
(2)如圖a,若∠BAC=120,AP=3,求BC的長.
(3)若∠BAC=120,沿直線BC向右平行移動△APQ得到△A′P′Q′(如圖b),A′Q′與AC交于點M.當(dāng)點P移動到何處時,△AA′M≌△CQ′M?證明你的結(jié)論.
【答案】(1)證明見解析;(2)9;(3)當(dāng)點P移動到BC的中點時,△AA′M≌△CQ′M,證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)AB=AC,△APQ為等邊三角形,利用AAS證得,從而證得結(jié)論;
(2)根據(jù)AB=AC,∠BAC=120,得∠B=∠C=30,根據(jù)△APQ為等邊三角形結(jié)合外角定理,∠BAP =∠B=∠C=∠CAQ=30,繼而求得答案;
(3)根據(jù)平移的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì),即可得到答案.
(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C
∵△APQ為等邊三角形,
∴AP=AQ,∠APQ=∠AQP
∴∠APB=∠AQC
∴
∴BP=CQ
(2)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120
∴∠B=∠C=30
已知△APQ為等邊三角形,∴∠APQ=∠AQP=60
∴∠BAP =∠B=∠C=∠CAQ=30
∴AP=BP,AQ=CQ,
已知△APQ為等邊三角形
∴BP=PQ=QC=AP=3
∴BC=9.
(3)當(dāng)點P移動到BC的中點,即,P′為BC的中點時,
△AA′M≌△CQ′M.
證明:沿直線BC向右平行移動△APQ得到△A′P′Q′.
由平移的性質(zhì)可知:PP'=AA'=QQ'.
AA'∥BC
∴∠C=∠MAA'①
當(dāng)P′為BC的中點時,BP'=CP',由(2)的解答可知,PB=QC=PQ
∴BP'-PB=CP'-QC
∴PP'=AA'=QQ'= PQ= QC
∴點Q'為QC的中點.
Q'C=QQ'=AA'②
又∠AMA'=∠CMQ'③
∴由①②③可得△AA′M≌△CQ′M.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交于點A和點B(0,﹣1),拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B,與直線l的另一個交點為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點D在拋物線上,DE∥y軸交直線l于點E,點F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設(shè)點D的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內(nèi)某點M旋轉(zhuǎn)90°或180°,得到△A1O1B1,點A、O、B的對應(yīng)點分別是點A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上,那么我們就稱這樣的點為“落點”,請直接寫出“落點”的個數(shù)和旋轉(zhuǎn)180°時點A1的橫坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年本市蜜桔大豐收,某水果商銷售一種蜜桔,成本價為10元/千克,已知銷售價不低于成本價,且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于18元/千克,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該產(chǎn)品每天的銷售量y(千克)與銷售價x(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示:
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤,銷售價應(yīng)定為多少?
(銷售利潤=銷售價-成本價)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)(,、、為常數(shù))的圖象如圖所示,下列個結(jié)論:①;②;③;④;⑤為常數(shù),且.其中正確的結(jié)論有( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】x2+(p+q)x+pq型式子是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的一類多項式,如何將這種類型的式子因式分解呢?因為(x+p)(x+q)= x2+(p+q)x+pq,所以,根據(jù)因式分解是與整式乘法方向相反的變形,利用這種關(guān)系可得:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).如:x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2),上述過程還可以形象的用十字相乘的形式表示:先分解二次項系數(shù),分別寫在十字交叉線的左上角和左下角;再分解常數(shù)項,分別寫在十字交叉線的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代數(shù)和,使其等于一次項的系數(shù),如下圖.這樣,我們可以得到:x2+3x+2= (x+1)(x+2),利用這種方法,將下列多項式分解因式:
(1)x2+7x+10
(2)-2x2-6x+36
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使點C落在斜邊AB上某一點D處,折痕為EF(點E、F分別在邊AC、BC上)
(1)若△CEF與△ABC相似.
①當(dāng)AC=BC=2時,AD的長為 ;
②當(dāng)AC=3,BC=4時,AD的長為 ;
(2)當(dāng)點D是AB的中點時,△CEF與△ABC相似嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放,其中∠ACB=∠DCE=90°,F是DE的中點,H是AE的中點,G是BD的中點.
(1)如圖1,若點D、E分別在AC、BC的延長線上,通過觀察和測量,猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為______和位置關(guān)系為______;
(2)如圖2,若將三角板△DEC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時,其余條件均不變,則(1)中的猜想是否還成立,若成立,請證明,不成立請說明理由;
(3)如圖3,將圖1中的△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角,得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎?寫出結(jié)論,證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)市委市政府提出的建設(shè)“綠色襄陽”的號召,我市某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長30m,寬20m的長方形空地,建成一個矩形花園.要求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道,剩余的地方種植花草,如圖所示,要使種植花草的面積為532m2,那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為多少米?(注:所有小道進(jìn)出口的寬度相等,且每段小道均為平行四邊形)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,陽光下,小亮的身高如圖中線段AB所示,他在地面上的影子如圖中線段BC所示,線段DE表示旗桿的高,線段FG表示一堵高墻.
(1)請你在圖中畫出旗桿在同一時刻陽光照射下形成的影子,并用線段表示;
(2)如果小亮的身高AB=1.6m,他的影子BC=2.4m,旗桿的高DE=15m,旗桿與高墻的距離EG=16m,請求出旗桿的影子落在墻上的長度.
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