【題目】已知點E在△ABC內,∠ABC=∠EBD=α,∠ACB=∠EDB=60°,∠AEB=150°,∠BEC=90°.
(1)當α=60°時(如圖1), ①判斷△ABC的形狀,并說明理由;
②求證:BD= AE;
(2)當α=90°時(如圖2),求 的值.

【答案】
(1)解:①判斷:△ABC是等邊三角形.

理由:∵∠ABC=∠ACB=60°

∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等邊三角形

②證明:同理△EBD也是等邊三角形

連接DC,

則AB=BC,BE=BD,∠ABE=60°﹣∠EBC=∠CBD

∴△ABE≌△CBD

∴AE=CD,∠AEB=∠CDB=150°

∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣60°=30°

在Rt△EDC中


(2)解:連接DC,

∵∠ABC=∠EBD=90°,∠ACB=∠EDB=60°

∴△ABC∽△EBD

又∵∠ABE=90°﹣∠EBC=∠CBD

∴△ABE∽△CBD,∠AEB=∠CDB=150°,

∴∠EDC=150°﹣∠BDE=90°∠CED=∠BEC﹣∠BED=90°﹣(90°﹣∠BDE)=60°

設BD=x在Rt△EBD中DE=2x,BE=

在Rt△EDC中CD=

,即


【解析】①由三角形ABC中有兩個60°而求得它為等邊三角形;②由△EBD也是等邊三角形,連接DC,證得△ABE≌△CBD,在直角三角形中很容易證得結論.(2)連接DC,證得△ABC∽△EBD,設BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值.

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