【題目】如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD對角線AC上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E在射線BC上,且PE=PB,連接PD,O為AC中點(diǎn).
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí),試猜想PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,請說明理由;
(2)①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí),(1)中的猜想還成立嗎?請說明理由;
②如圖2,試用等式來表示PB,BC,CE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
(3)如圖3,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)時(shí),連接DE,試探究線段PB與線段DE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】(1)PE=PD,PE⊥PD,證明詳見解析;(2)①成立PE=PD,PE⊥PD,證明詳見解析;②,證明詳見解析;(3)PB=DE,證明詳見解析.
【解析】
試題
(1)如圖1,過點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M,PN⊥CD于點(diǎn)N,則由已知條件可得PM=PN,∠MPN=90°,由正方形關(guān)于對角線對稱可得PB=PD,結(jié)合PB=PE可得PE=PD,從而可得△PME≌△PND,由此可得∠EPM=∠DPN,從而可證得∠DPE=90°,得到PD⊥PE;
(2)①如圖2,過點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M,PN⊥CD于點(diǎn)N,同(1)可證得PD=PE,PD⊥PE仍然成立;
②如圖2,連接DE,在Rt△DCE中,由勾股定理可得DC2+CE2=DE2,結(jié)合在等腰Rt△DPE中,DE2=2PE2及PE=PB,BC=DC即可得到BC2+CE2=2PB2;
(3)如圖3,由已知條件易得∠DCE=∠ACD=∠ACB=60°,由菱形關(guān)于對角線對稱可得PB=PE,∠OBC=∠PDC,結(jié)合PB=PE可得∠PEC=∠PBC=∠PDC及PE=PD,再結(jié)合∠PHD=∠CHE可得∠DPE=∠DCE=60°,從而可得△PDE是等邊三角形,由此即可得到DE=PE=PB.
試題解析:
(1)PD=PE且PD⊥PE,理由如下:
如圖1,過點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M,PN⊥CD于點(diǎn)N,
∴∠PME=∠PND=90°,
∵四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)P在AC上,
∴∠BCD=90°,PM=PN,PB=PD,
∴四邊形PMCN是正方形,
∴∠MPN=90°,
∵PB=PE,
∴PE=PD,
∴Rt△PME≌Rt△PND,
∴∠DPN=∠EPM,
∴∠DPN+∠NPE=∠NPE+∠EPM=∠MPN=90°,
∴PD⊥PE,
∴PE與PE關(guān)系是:PD=PE且PD⊥PE;
(2)①如圖2,過點(diǎn)P分別作PM⊥BC于點(diǎn)M,PN⊥CD于點(diǎn)N,和(1)同法可證得PD=PE,PD⊥PE仍然成立;
②如圖2,連接DE,
由①可得PE=PD,PE⊥PD,
∴DE2=PD2+PE2=2PE2,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCD=∠DCE=90°,
∴在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,
∴BC2+CE2=DE2=2PE2,
又∵PE=PB,
∴BC2+CE2=2PB2.
(3)如圖3,∵四邊形ABCD是菱形,且∠BAD=120°,
∴∠ACB=∠ACD=60°,
∴∠DCE=180°-60°-60°=60°,
∵點(diǎn)P在對稱性AC上,
∴由菱形是關(guān)于對角線對稱的軸對稱圖形可得:PD=PB,∠PDC=∠PBC,
∵PB=PE,
∴PD=PE,∠PBC=∠PEC,
∴∠PEC=∠PDC,
又∵∠PHD=∠CHE,
∴∠DPE=∠DCE=60°,
∴△PED是等邊三角形,
∴DE=PE,
∴DE=PB.
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【題目】如圖是放在地面上的一個(gè)長方體盒子,其中AB=18cm,BC=12cm,BF=10cm,點(diǎn)M在棱AB上,且AM=6cm,點(diǎn)N是FG的中點(diǎn),一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點(diǎn)M爬行到點(diǎn)N,它需要爬行的最短路程為____.
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【題目】4月23日為“世界讀書日”,每年的這一天,世界100多個(gè)國家都會(huì)舉辦各種各樣的慶祝和圖書宣傳活動(dòng).我縣某書店借此機(jī)會(huì)決定開展“讀書節(jié)”活動(dòng),為迎接“讀書節(jié)”制定了活動(dòng)計(jì)劃.以下是活動(dòng)計(jì)劃書的部分信息:
“讀書節(jié)”活動(dòng)計(jì)劃書 | ||
圖書類別 | A類 | B類 |
進(jìn)價(jià)(元/本) | 18 | 12 |
備注 | (1)用不超過16800元購進(jìn)A、B兩類圖書共1000本: (2)A類圖書不少于600本: |
(1)陳經(jīng)理査看計(jì)劃書時(shí)發(fā)現(xiàn):A類圖書的標(biāo)價(jià)是B類圖書標(biāo)價(jià)的1.5倍,若顧客同樣用540元購買圖書,能購買A類圖書數(shù)量比B類圖書的數(shù)量少10本,請求出A、B兩類圖書的標(biāo)價(jià);
(2)經(jīng)市場調(diào)查后,陳經(jīng)理發(fā)現(xiàn)它們高估了“讀書節(jié)”對圖書銷售的影響:便調(diào)整了銷售方案;A類圖書每本按標(biāo)價(jià)降低2元銷售,B類圖書價(jià)格不變,那么該書店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤?
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【題目】如圖,一個(gè)工人拿一個(gè)米長的梯子,底端放在距離墻根點(diǎn)米處,另一端點(diǎn)點(diǎn)靠墻.
(1)求這個(gè)梯子的頂端距離地面的高度;
(2)如圖,如果梯子的頂部下滑米,那么梯子的底部向外滑多少米.
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【題目】《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示:
【問題】
如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=a(x-2)2-4經(jīng)過原點(diǎn)O,與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A,則a= ,點(diǎn)A的坐標(biāo)為 .
【操作】
將圖①中的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,如圖②.直接寫出翻折后的這部分拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式: .
【探究】
在圖②中,翻折后的這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成了一個(gè)“W”形狀的新圖象,則新圖象對應(yīng)的函數(shù)y隨x的增大而增大時(shí),x的取值范圍是 .
【應(yīng)用】結(jié)合上面的操作與探究,繼續(xù)思考:
如圖③,若拋物線y=(x-h)2-4與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B左),將拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折,同樣,也得到了一個(gè)“W”形狀的新圖象.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(用含h的式子表示)
(2)當(dāng)1<x<2時(shí),若新圖象的函數(shù)值y隨x的增大而增大,求h的取值范圍.
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【題目】為了解某市初中學(xué)生每天進(jìn)行體育鍛煉的時(shí)間,隨機(jī)抽樣調(diào)查了100名初中學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖表.
請根據(jù)圖表信息解答下列問題:
(1)在統(tǒng)計(jì)表中,m=_______,n=____,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C組”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是_______;
(3)據(jù)了解該市大約有3萬名初中學(xué)生,請估計(jì)該市初中學(xué)生每天進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間在1小時(shí)以上的人.
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