Question

如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．

（1）當(dāng)把△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，CD=BE是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)給出證明，并求出當(dāng)AB=2AD時(shí)，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，所以CD=BE．
（2）可以證明△AMN是等邊三角形，AD=a，則AB=2a，根據(jù)已知條件分別求得△AMN的邊長(zhǎng)，因?yàn)椤鰽DE，△ABC，△AMN為等邊三角形，所以面積比等于邊長(zhǎng)的平方的比．

解答：解：（1）CD=BE．理由如下：（1分）
∵△ABC和△ADE為等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，（3分）
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴CD=BE．（4分）

（2）△AMN是等邊三角形．理由如下：（5分）
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD
∵M(jìn)、N分別是BE、CD的中點(diǎn)，
∴BM=

1

2

BE=

1

2

CD=CN，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．（6分）
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等邊三角形．（7分）
設(shè)AD=a，則AB=2a．
∵AD=AE=DE，AB=AC，
∴CE=DE．
∵△ADE為等邊三角形，
∴∠DEC=120°，∠ADE=60°，
∴∠EDC=∠ECD=30°，
∴∠ADC=90°．（8分）
∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°，
∴CD=

3

a．
∵N為DC中點(diǎn)，
∴DN=

3

2

a，
∴AN=

DN2+AD2

=

( 3 2 a)2+a2

=

7

2

a．（9分）
∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，
∴S_△ADE：S_△ABC：S_△AMN=a²：（2a）²：（

7

2

a）²=1：4：

7

4

=4：16：7（10分）

解法二：△AMN是等邊三角形．理由如下：（5分）
∵△ABE≌△ACD，M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)，
∴AM=AN，NC=MB．
∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等邊三角形，（7分）
設(shè)AD=a，則AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，
易證BE⊥AC，
∴BE=

AB2-AE2

=

(2a)2-a2

=

3

a，
∴EM=

3

2

a，
∴AM=

EM2+AE2

=

( 3 2 a)2+a2

=

7

2

a，
∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，
∴S_△ADE：S_△ABC：S_△AMN=a²：（2a）²：（

7

2

a）²=1：4：

7

4

=4：16：7．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)的綜合運(yùn)用及推理論證能力．