Question

（2002•宜昌）如圖，AD為圓內(nèi)接三角形ABC的外角∠EAC的平分線，它與圓交于點(diǎn)D，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)．
（1）求證：BD=DC；
（2）請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件使直線DF一定經(jīng)過圓心，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先有圓周角定理得出∠DAE=∠DCB，再有角平分線的性質(zhì)可得出∠EAD=∠DAC，判斷出△DCB是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知若F為BC中點(diǎn)，則DF經(jīng)過圓心．
解答：（1）證明：∵∠CDB=∠CAB，∠CAD=∠CBD，
∴∠CBD+∠CDB=∠CAB+∠CAD；
∴∠DAE=∠DCB；
又∵AD是角平分線，
∴∠DAE=∠DAC=∠DBC=∠DCB；
∴△DCB是等腰三角形，
∴DC=DB；

（2）解：若F為BC中點(diǎn)，則DF經(jīng)過圓心；
∵△DBC是等腰三角形，
∴DF是底邊中線；
∵圓內(nèi)接三角形圓心是三邊中垂線的交點(diǎn)，
∴DF必過圓心．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理、等腰三角形的判定及性質(zhì)，能根據(jù)圓周角定理得出△DCB是等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵．