Question

【題目】如圖，將矩形OABC置于一平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A，C分別位于x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，6），雙曲線y＝（k≠0）在第一象限中的圖象經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E，P為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，把△OAP沿直線AP翻折，使點(diǎn)O落在點(diǎn)F處，連接FE，若FE∥x軸，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___．

Answer 1

【答案】（0，）或（0，15）．

【解析】

延長(zhǎng)EF交CO于G，依據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為5，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3，再根據(jù)勾股定理可得EF的長(zhǎng)，設(shè)OP＝x，則PG＝3﹣x，分兩種情況討論，依據(jù)Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，即可得到x的值，進(jìn)而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

如圖所示，延長(zhǎng)EF交CO于G，

∵EF∥x軸，

∴∠FGP＝90°＝∠AEF，

∵雙曲線y＝（k≠0）經(jīng)過(guò)矩形OABC的邊BC的中點(diǎn)D，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，6），

∴點(diǎn)D（，6），

∴k＝15，

又∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為5，

∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為＝3，即AE＝3，

①當(dāng)點(diǎn)F在AB左側(cè)時(shí)，由折疊可得，AF＝AO＝5，

∴Rt△AEF中，EF＝＝4，

∴GF＝5﹣4＝1，

設(shè)OP＝x，則PG＝3﹣x，

∵Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，

∴12+（3﹣x）2＝x2，

解得x＝，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）；

②當(dāng)點(diǎn)F在AB右側(cè)時(shí)，同理可得EF＝4，

∴GF＝5+4＝9，

設(shè)OP＝x，則PG＝x﹣3，

∵Rt△FGP中，FG2+PG2＝PF2，

∴92+（x﹣3）2＝x2，

解得x＝15，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，15）；

故答案為：（0，）或（0，15）．