(1997•天津)如圖,點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心,AI交BC邊于D,交△ABC的外接圓于點(diǎn)E.
求證:(1)IE=BE;
      (2)IE是AE和DE的比例中項(xiàng).
分析:(1)連接BI,根據(jù)I是△ABC的內(nèi)心,得出∠1=∠2,∠3=∠4,再根據(jù)∠BIE=∠2+∠3,∠IBE=∠5+∠4,而∠5=∠1=∠2,得出∠BIE=∠IBE,即可證出IE=BE.
(2)根據(jù)(1)可得∠2=∠1=∠5,∠E=∠E,則△AEB∽△BED,
AE
BE
=
BE
DE
,再根據(jù)BE=IE,可得出
AE
IE
=
IE
DE
,即可證出IE是AE和DE的比例中項(xiàng).
解答:證明:(1)連接BI,
∵I是△ABC的內(nèi)心,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠BIE=∠1+∠3,
∠IBE=∠5+∠4,
而∠5=∠1=∠2,
∴∠BIE=∠IBE,
∴IE=BE.

(2)根據(jù)(1)可得:
∵∠2=∠1=∠5,∠E=∠E,
∴△AEB∽△BED,
AE
BE
=
BE
DE
,
∵BE=IE,
AE
IE
=
IE
DE
,
∴IE是AE和DE的比例中項(xiàng).
點(diǎn)評(píng):此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)心,關(guān)鍵是做出輔助線、證出三角形相似.
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1
OA
-
1
OB
=
2
OC
.求△ABC外接圓的面積.

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