Question

【題目】(1)閱讀理解

利用旋轉(zhuǎn)變換解決數(shù)學問題是一種常用的方法．如圖1，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA＝1，PB＝，PC＝2．求∠BPC的度數(shù)．

為利用已知條件，不妨把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′C，連接PP′，則PP′的長為_____；在△PAP′中，易證∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度數(shù)為_____，綜上可得∠BPC的度數(shù)為_____；

(2)類比遷移

如圖2，點P是等腰Rt△ABC內(nèi)的一點，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠APC的度數(shù)；

(3)拓展應(yīng)用

如圖3，在四邊形ABCD中，BC＝3，CD＝5，AB＝AC＝AD．∠BAC＝2∠ADC，請直接寫出BD的長．

Answer 1

【答案】（1）2；30°；90°；（2）∠APC=90°；（3）BD=．

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定可知△CP′P是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)知∠CP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，繼而可得答案．

（2）如圖2，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C，連接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形，所以∠APC=90°；

（3）如圖3，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，根據(jù)勾股定理求CG的長，就可以得BD的長．

解：（1）把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△AP'C，連接PP′（如圖1）．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等邊三角形；

∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，

在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（）2=4=PP′2；

∴△AP′P是直角三角形；

∴∠P′AP=90°．

∵PA=PC，

∴∠AP′P=30°；

∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．

故答案為：2；30°；90°；

（2）如圖2，把△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△AP'C，連接PP′．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知△CP′P是等腰直角三角形；

∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=，PB=AP'=，

在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（）2+（）2=2=AP2；

∴△AP′P是直角三角形；

∴∠AP′P=90°．

∴∠APP'=45°

∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°

（3）如圖3，

∵AB=AC，

將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD=CG，

∵∠BAD=∠CAG，

∴∠BAC=∠DAG，

∵AB=AC，AD=AG，

∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，

∴△ABC∽△ADG，

∵AD=2AB，

∴DG=2BC=6，

過A作AE⊥BC于E，

∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，

∴∠ADG+∠ADC=90°，

∴∠GDC=90°，

∴CG=，

∴BD=CG=．