Question

如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．
（1）請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn)；
（2）若AB=8，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）要證明：E是OB的中點(diǎn)，只要求證OE=

1

2

OB=

1

2

OC，即證明∠OCE=30°即可．
（2）在直角△OCE中，根據(jù)勾股定理就可以解得CE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接AC，如圖
∵直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，
∴

AC

=

AD

，
∴AC=AD，
∵過(guò)圓心O的線CF⊥AD，
∴AF=DF，即CF是AD的中垂線，
∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD是等邊三角形，
∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，OE=

1

2

OC，
∴OE=

1

2

OB，
∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)；

（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，
∴OC=

1

2

AB=4，
又∵BE=OE，
∴OE=2，
∴CE=

OC2-OE2

=

16-4

=2

3

，
∴CD=2CE=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)建在一個(gè)直角三角形里，運(yùn)用勾股定理求解．